Question

Conteúdo: Geometria Analítica

Exercício de fixação

Boa sorte ! :)

Answer 1

Os pontos da questão são $A\left(x_{_{A}},\,y_{_{A}} \right )$ e $B\left(x_{_{B}},\,y_{_{B}} \right )$.


(1) Encontrar as coordenadas dos pontos $A$ e $B$:

$\bullet\;\;$ A abscissa do ponto $A$ é na interseção do gráfico da função

$y=\mathrm{\ell n\,}x$

com o eixo $Ox$ (quando $y=0$). Então, temos que

$0=\mathrm{\ell n\,}x_{_{A}}\\ \\ x_{_{A}}=e^{0}\\ \\ \boxed{x_{_{A}}=1}$


Como o ponto $A$ pertence ao gráfico da função

$y=e^{x}$

devemos ter

$y_{_{A}}=e^{x_{_{A}}}\\ \\ y_{_{A}}=e^{1}\\ \\ \boxed{y_{_{A}}=e}$


As coordenadas do ponto $A$ são $\left(1,\,e \right )$.


$\bullet\;\;$ A ordenada do ponto $B$ é na interseção do gráfico da função

$y=e^{x}$

com o eixo $Oy$ (quando $x=0$). Então, temos que

$y_{_{B}}=e^{0}\\ \\ \boxed{y_{_{B}}=1}$


Como o ponto $B$ pertence ao gráfico da função

$y=\mathrm{\ell n\,}x$

devemos ter

$y_{_{B}}=\mathrm{\ell n\,}x_{_{B}}\\ \\ 1=\mathrm{\ell n\,}x_{_{B}}\\ \\ x_{_{B}}=e^{1}\\ \\ \boxed{x_{_{B}}=e}$


As coordenadas do ponto $B$ são $\left(e,\,1 \right )$.


(2) Achar a distância entre os pontos $A$ e $B$:

A distância entre os pontos $A$ e $B$ é dada por

$d_{_{AB}}=\sqrt{\left(x_{_{B}}-x_{_{A}} \right )^{2}+\left(y_{_{B}}-y_{_{A}} \right )^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{\left(e-1 \right )^{2}+\left(1-e \right )^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{\left(e-1 \right )^{2}+\left[\,-\left(e-1 \right )\, \right ]^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{\left(e-1 \right )^{2}+\left(e-1 \right )^{2}}\\ \\ d_{_{AB}}=\sqrt{2\left(e-1 \right )^{2}}\\ \\ \boxed{d_{_{AB}}=\sqrt{2}\left(e-1 \right )\text{ u.c.}}$


Resposta: alternativa $\text{b) }\sqrt{2}\left(e-1 \right )$.