Question

construir a partir do vetor v1=(1,-2,1)uma ortogonal do R3 com o produto interno usual e ob ter a partir dela uma base ortonormal

Answer 1

los vectores ortogonales a v1 yacen sobre un plano cuya normal es v1, por ello podemos elegir a otros vectores v2 y v3 cualesquiera, de forma que v1,v2,v3 sean linealmente independientes, por ejemplo (de los tantos que son infinitos)

                 $v_1=(1,-2,1)\,,\, v_2 =(1,0,0)\,,\,v_3=(0,1,0)$

entonces

$u_1 =\dfrac{(1,-2,1)}{\|(1,-2,1)\|}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)\\ \\ u_2=v_2-\left(\dfrac{u_1\cdot v_2}{\|u_1\|}\right)u_1\\ \\ u_2=(1,0,0)-\dfrac{1}{6}(1,-2,1)\\ \\ \boxed{u_2=\left(\dfrac{5}{6},\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6}\right)}\\ \\ u_3=v_3-\left(\dfrac{u_1\cdot v_3}{\|u_1\|}\right)u_1-\left(\dfrac{u_2\cdot v_3}{\|u_2\|}\right)u_2$

$u_3=(0,1,0)+\dfrac{1}{3}(1,-2,1)-\dfrac{2}{\sqrt{30}}\left(\dfrac{5}{6},\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6}\right)\\\\ u_3=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{30}}{18},-\dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt{30}}{15},\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{30}}{9}\right)\\\\c$

Luego tienes que hallar los vectores unitarios de $u_1,u_2,u_3$ y ya tienes la base ortonormal