Question

construa um triângulo abc em que ab = 20 cm, bc = 18 cm e ac = 14 cm. determine todos pontos m tais que ma = mc e o ângulo amb seja igual a 45 graus.

Answer 1

Beatreqgajulia , por gentileza acompanhe o desenvolvimento na figura em anexo:

1. Primeiro, construa o triângulo ABC com as medidas dadas:
- Desenhe AB = 20 cm
- Com centro em A, trace um arco com raio igual a 14 cm
- Com centro em B, trace um arco com 18 cm
- Onde estes dois arcos se encontrarem, teremos o vértice C do triângulo

2. Precisamos agora obter os Lugares Geométricos dos pontos M que satisfaçam a condição do enunciado.

- Para que MA seja igual a MC, o ponto M deverá estar na mediatriz do lado AC. Então, faça centro em A, trace um arco qualquer, maior que AC/2 e, a seguir, com o mesmo raio, faça centro em C e trace um novo arco. Onde os dois arcos se encontrarem, teremos dois pontos equidistantes de A e C. Traçando a reta que une estes dois pontos, teremos a mediatriz de AC, onde deverão estar os possíveis pontos M.

- Para que o ângulo AMB seja igual a 45º, os pontos M deverão estar no Arco Capaz de 45º do segmento AB. Para obter este Arco Capaz, faça o seguinte:
a) Obtenha o ponto médio do lado AB, traçando a mediatriz do segmento AB (mesmo procedimento adotado para traçar a mediatriz de AC, descrito acima);
b) Com centro no ponto Mc (médio de AB), obtido no item anterior, trace um arco com raio igual a McB que é igual ao raio McA.
c) Onde este arco encontrar a mediatriz de AB, traçada no item a) acima, você terá o ponto O, centro do arco capaz de 45º.
(Um ponto simétrico a este é o ponto O1, do outro lado do segmento AB);
d) Com centro no ponto O, trace um arco com raio igual a OA = OB. Este é o Arco Capaz de 45º sobre o segmento AB, onde deverão estar os possíveis pontos M, tais que o ângulo AMB seja igual a 45º.
(Com centro em O1, repita o procedimento, obtendo o outro arco capaz de 45º sobre o segmento AB)

Assim, nós temos dois lugares geométricos onde deverão estar os possíveis pontos M que satisfazem as duas condições do enunciado:

- na mediatriz de AC, estarão os pontos M tais que MA = MC
- No Arco Capaz de 45º sobre o segmento AB estarão os pontos M tais que o ângulo AMB seja igual a 45º

Então, onde a mediatriz encontrar o arco capaz, teremos o ponto M (na parte de cima do desenho, à direita) e o ponto M1 (na parte de baixo do desenho, à esquerda).

Estes dois pontos são a solução da questão.

Ainda existem dois outros pontos M, simétricos a estes, que podem ser obtidos se você desenhar o triângulo ABC com o vértice C para o lado de baixo da figura.

Se tiver alguma dúvida, por favor pergunte.