Question

construa um grífico da função f (x)=x/(x+1)

Answer 1

Estudando o sinal de f:

O numerador de f (x) é positivo se x > 0, negativo se x < 0 e nulo se x = 0 (raiz)

O denominador de f (x + 1) é positivo se x > - 1, negativo se x < - 1 e nulo se x = - 1 (assíntota vertical)

Então, fazendo a interseção de sinais entre o numerador o denominador, temos o estudo de sinais de f

$f(x)\ge0~~se~~x\in(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)\\f(x)~\textless~0~~se~~x\in(-1,0)$

Achando a derivada de f:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{x+1}\right)=\dfrac{(x)'(x+1)-(x+1)'x}{(x+1)^{2}}\\\\\\f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-1\cdot x}{(x+1)^{2}}\\\\\\f'(x)=\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}}}$

Note que a derivada nunca é nula e é sempre positiva, pois 1 é maior que zero e (x + 1) é maior que zero para todo x real diferente de -1

O único ponto crítico de f acontece, portanto, quando x = - 1, pois a derivada não existe no ponto em questão

Achando f''(x):

$f''(x)=\dfrac{d}{dx}f'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{(x+1)^{2}}\right)=\dfrac{(1)'(x+1)^{2}-1((x+1)^{2})'}{((x+1)^{2})^{2}}\\\\\\f''(x)=\dfrac{0(x+1)^{2}-1\cdot2(x+1)^{2-1}\cdot(x+1)'}{(x+1)^{4}}\\\\\\f''(x)==\dfrac{0-2(x+1)\cdot1}{(x+1)^{4}}\\\\\\f''(x)=-\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{f''(x)=-\dfrac{2}{(x+1)^{3}}=\dfrac{2}{(-1-x)^{3}}}}$

Note que f'' não é definida se x = - 1, pois teríamos denominador nulo. f' também não possui raízes, pois 2 é diferente de zero (não há ponto de inflexão)

O estudo de sinais de f'' se resume ao estudo de sinais do denominador

$(-1-x)^{3}~\textgreater~0~~~\therefore~~~-1-x~\textgreater~0~~~\therefore~~~-x~\textgreater-1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textless~1}}\\\\(-1-x)^{3}~\textless~0~~~\therefore~~~-1-x~\textless~0~~~\therefore~~~-x~\textless-1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x~\textgreater~1}}$

Então:

$f''(x)~\textgreater~0~~se~~x\in(-\infty,-1)\\f''(x)~\textless~0~~se~~x\in(1,+\infty)$

Verificando se x = - 1 é assíntota vertical:

$\lim\limits_{x\rightarrow-1^{-}}\dfrac{x}{x+1}=\infty~~~(f~\'e~positiva~se~x~\textless-1)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-1^{+}}\dfrac{x}{x+1}=-\infty~~~(f~\'e~negativa~se~x~\textgreater-1,~x~pr\'oximo~de~-1)$
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Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função

f é positiva, crescente e concava para cima se x < - 1
f é negativa, crescente e concava para baixo se - 1 < x < 0
f é positiva, crescente e concava para baixo se x > 0

Lembrando: f é crescente nos intervalos onde sua derivada é positiva, e decrescente nos intervalos onde sua derivada é negativa

Lembrando: O gráfico de f tem concavidade voltada para cima nos intervalos onde f'' é positiva, e tem concavidade voltada para baixo nos intervalos onde f'' é negativa

O gráfico está em anexo