Construa o gráfico das seguintes funções f(x) = ax2 + bx + c, observando valores de a,b,c, ∆, raízes, vértice, ponto de máximo ou mínimo, o conjunto imagem:
a) f(x) = x^2 + 6x + 5
b) f(x) = -x^2 + 2x + 8
c) f(x) = x^2 + 4x + 4
d) f(x) = x^2 - 4x + 5
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
a) f(x) = x^2 + 6x + 5
6²-4.1.5
36-20
16
Δ=16
X=-6±√Δ/2.a
X=-6±4/2
x1= -2/2 = -1
x2= -10/2 = -5
xv=-b/2a => xv= -6/2 => -3
yv=-Δ/4a => -16/4 => -4
(xv,yv) = (-3,-4) ponto mínimo
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b) f(x) = -x^2 + 2x + 8
2²-4.-1.8
4+32
Δ=36
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c) f(x) = x^2 + 4x + 4
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d) f(x) = x^2 - 4x + 5
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Obs: Vou deixar você fazer o resto pra praticar, qualquer coisa confere se tá certo olhando nas imagens que contém os gráficos. Você consegue. ✌(ツ)
Para resolvermos essa questão, devemos aprender que uma função do segundo grau possui equação f(x) = ax² + bx + c, possui o formato de uma parábola, onde as raízes são os pontos do eixo x onde a função vale 0, e a imagem são os possíveis resultados que a função pode ter.
Os coeficientes a, b e c de uma função são os valores que multiplicam os termos x², x, e onde c é o termo independente. As raízes de uma equação são os valores de x que tornam a equação igual a zero, sendo que o Δ da equação possui equação b² - 4ac e determina se as raízes serão reais ou complexas. Para encontramos as raízes utilizamos a fórmula de Bhaskara.
Para encontrarmos as coordenadas x e y do vértice de uma parábola, podemos utilizar as equações Xv = -b/2a e Yv = -Δ/4a, onde a, b e c são os coeficiente da equação.
Por fim, o conjunto imagem da função são todos os possíveis resultados que uma função pode ter.
Com isso, temos:
a) f(x) = x^2 + 6x + 5
Utilizando a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = 6, c = 5, temos que as raízes são x1 = -5 e x2 = -1. Δ = 6² - 4*1*5 = 36 - 20 = 16.
Xv = -6/2*1 = -3, Yv = -16/4*1 = -4.
Como o menor valor em y que a função pode adotar é igual a -4, temos que a imagem da função é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 4.
b) f(x) = -x^2 + 2x + 8
Utilizando a fórmula de Bhaskara com a = -1, b = 2, c = 8, temos que as raízes são x1 = -2 e x2 = 4. Δ = 2² - 4*(-1)*8 = 4 + 32 = 36.
Xv = -2/2*(-1) = 1, Yv = -36/4*(-1) = 9.
Como o maior valor em y que a função pode adotar é igual a 9, temos que a imagem da função é o conjunto dos números reais menores ou iguais a 9.
c) f(x) = x^2 + 4x + 4
Utilizando a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = 4, c = 4, temos que as raízes são x1 = x2 = -2. Δ = 4² - 4*1*4 = 16 - 16 = 0.
Xv = -4/2*1 = -2, Yv = -0/4*1 = 0.
Como o menor valor em y que a função pode adotar é igual a 0, temos que a imagem da função é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 0.
d) f(x) = x^2 - 4x + 5
Utilizando a fórmula de Bhaskara com a = 1, b = -4, c = 5, temos que as raízes são x1 = 2 - i e x2 = 2 + i (onde i é o número complexo, indicando que as raízes não tocam o eixo x). Δ = (-4)² - 4*1*5 = 16 - 20 = -4.
Xv = -(-4)/2*1 = 2, Yv = -(-4)/4*1 = 1.
Como o menor valor em y que a função pode adotar é igual a 1, temos que a imagem da função é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1.
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