Question

construa o gráfico das funções F(x)=ax² +bx + c e a ponte no gráfico os elementos da parábola (o ponto em que ele intercepta o eixo Y os zeros da função e o vertice)

b) F(x)=x² +8x -12,sendo o domínio D={0, 2, 4, 6, 8}​

Answer 1

Resposta:

Sentido da concavidade está virada para cima

Zeros = { - 4 + 2√7  ; - 4 - 2√7 } ( pontos A e B )

Ponto interseção com eixo Y é o ponto ( 0 ; - 12 )  ponto C

Vértice ( - 4 ; - 28 )  ponto D

Explicação passo-a-passo:

b ) f (x)=  x² + 8x -12

Observação 1 → Forma geral das equações completas do 2º grau

São do tipo :

f (x) = ax² + bx + c   onde "a" , "b" e "c"  ∈  |R  e a = ≠ 0

Aqui temos uma equação completa do 2º grau.  

Primeira parte

Calcular e representar em gráfico da parábola :

→ sentido da concavidade

→ os zeros da função

→ o ponto em que ele intercepta o eixo Y

→  vértice

1 ) sentido da concavidade

Se a > 0  é este o caso aqui onde a = 1 logo > 0

as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para

cima, na forma de um "U" em ponto grande

Se a < 0

as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para

baixo, na forma de  "∩" , que parece um U invertido em ponto grande.

Observação 3 → o "a" é o coeficiente de termo em x²

Observação 4 → Coeficientes "fantasmas"

Atrás do "x² " não está lá escrito nenhum sinal.

Quando assim é está lá o " + 1 " a multiplicar pelo "x²" , logo " + 1 * x² ".

Só que os matemáticos decidiram que não era preciso estar sempre a

escrevê-lo.

Mas ele está lá quando for necessário o utilizar ou fazer cálculos com ele.

Esta informação sobre a orientação da concavidade é importantíssima.

Dá logo para ver que ao fazer o gráfico ele vai ter a forma certa.

2 ) Cálculo dos zeros

f (x)=  x² + 8x - 12

Fórmula de Bhascara  

x = ( - b ± √Δ ) /(2*a)   com  Δ = b² - 4 * a * c

a =    1

b =   8

c = - 12

Δ = 8² - 4 *  1 * ( - 12 ) = 64 + 48 =  112

Decompor em fatores 112 , porque a raiz quadrada de 112 não é um número inteiro.

$112=2^{4} *7$

112 / 2

56 / 2

28 / 2

14 / 2

7 / 7

1

$\sqrt{112} =\sqrt{2*2*2*2*7} =\sqrt{4*4*7} =\sqrt{4} *\sqrt{4} *\sqrt{7} =2*2*\sqrt{7} =4\sqrt{7}$

√Δ = √112 = 4√7

x1 = ( - 8 + 4√7 ) / ( 2 * 1 )

No numerador colocar 2 em evidência para poder cancelar-se com o 2 do denominador.

x1 = 2*( - 4 + 2√7 ) /2

x1 = - 4 + 2√7  

x2 = ( - 8 - 4√7 ) / 2  

x2 =2*( - 4 - 2√7 ) /2

x2 = - 4 - 2√7  

2) Cálculo do ponto interseção com eixo Y

Ponto no eixo Y tem sempre coordenadas do tipo ( 0 ; ? )

O "?" resulta de calcular f (0)

f(0) =  0² + 8 * 0 - 12

É o ponto ( 0  ; - 12 )

3) Cálculo do vértice

Vértice (  $-\frac{8}{2a} ;-\frac{delta}{4a}$  )

Vértice ( $-4;-\frac{112}{4*1}$     )

Vértice (  - 4 ; -28 )

Com estas informações consegue fazer o gráfico ( ver em anexo 1 )

Mas...

Isto é só para a primeira parte da pergunta.

Que é construir o gráfico da função f (x)=  x² + 8x - 12

Nesta fase é construir o gráfico em que os valores para coordenadas em

x podem ser quaisquer números reais.

Quaisquer.

Exemplo:

x = - 1 000 000,2

x = - 500,9876

x = - 39

x = 78,63

x = 1 200 004,98

Percebe bem que são todos os valores Reais de x.

E com todos estes valores que nunca acabam, consegue fazer uma

parábola que é uma linha curva contínua de uma ponta a outra.

Olhe bem para o 1º gráfico ( anexo 1 )

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

Agora esqueça quase tudo o que fez acima.

Continua a usar f(x)= x² + 8x -12

Mas ...

Vai "brincar" a encontrar pontos isolados.  ( anexo 2)

Não mais uma bela linha curva na forma de parábola  !!

Pergunta e responde :

Qual o valor de "coordenada em y" quando a "coordenada em x"  for " 0 " ?ou seja

usar o primeiro valor de x que está no domínio D= { 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 }

E continua a fazer a mesma pergunta para os restantes valores do

domínio D.

Com essas perguntas e respostas vai ter as coordenadas de 5 pontos !!

(anexo 2 )

E é a representação gráfica destes cinco pontos isolados, que lhe vai

aparecer no segundo gráfico !!!

Segunda parte  

domínio D = { 0 ; 2 ; 4 , 6 , 8 }  ( anexo 2)

Não misturar com a anterior.

f (x)= 1 * x² + 8x - 12  

f ( 0 ) = 0² + 8*0 - 12

Ponto G ( 0 ; - 12)

f (2) =  2² + 8 * 2 - 12 = 4 + 16 - 12 = 8

Ponto H ( 2 ; 8 )

f (4 ) = 4² + 8 * 4 - 12 = 16 + 32 - 12 = 36

Ponto I ( 4 ; 36 )

f (6) =  6² + 8 * 6 - 12 =  36 + 48 - 12 = 84 - 12 = 72

Ponto J ( 6 ; 72 )

f (8) =  8² + 8 * 8 - 12 = 64 + 64 - 12 = 116

Ponto K ( 8 ; 116 )

Bom estudo.

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Sinais:  ( |R ) conjunto dos números Reais       (  ∈ )  pertence a

( ≠ )  diferente de      ( > )  maior do que     ( < ) menor do que

( Δ ) letra grega , "delta" e representa "b² - 4 * a * c " na Fórmula de Bhascara

( x1 e x2 ) nomes dados aos zeros    ( * ) multiplicação

*************************************************************************************

Atenção → Função alternativa

f(x) = - x² + 8x - 12  com o coeficiente de x² ser " - 1 "  e não " + 1 "

Resposta:

( anexo 3 )

Sentido da concavidade está virada para baixo

Zeros x = 2  e x = 6  

Ponto interseção com eixo Y é o ponto ( 0 ; - 12 )  

Vértice (  4 ; 4 )

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( anexo 4 )

f (x)=  - 1 * x² + 8x - 12   para D ={0, 2, 4, 6, 8}

Ponto R ( 0 ; - 12 )

Ponto S ( 2 ; 0 )

Ponto T ( 4 ; 4 )

Ponto U ( 6 ; 0 )

Ponto V ( 8 ; - 12 )