construa o gráfico das funções F(x)=ax² +bx + c e a ponte no gráfico os elementos da parábola (o ponto em que ele intercepta o eixo Y os zeros da função e o vertice)
c)F(x)=x² + 4x -5 sendo domínio D= {-5 , -4, -2 ,0 ,1}
Soluções para a tarefa
Resposta:
Sentido da concavidade está virada para cima
Zeros x = 1 e x = - 5 ( estão nos pontos B e C )
Ponto interseção com eixo Y é o ponto ( 0 ; - 5 ) , ponto D
Vértice ( - 2 ; - 9 ) ponto A
( ver ficheiros em anexo )
Explicação passo-a-passo:
c ) f (x)= x² + 4x - 5
Observação 1 → Forma geral das equações completas do 2º grau
São do tipo :
f (x) = ax² + bx + c onde "a" , "b" e "c" ∈ |R e a = ≠ 0
Aqui temos uma equação completa do 2º grau.
Primeira parte
Calcular e representar em gráfico da parábola :
→ sentido da concavidade
→ os zeros da função
→ o ponto em que ele intercepta o eixo Y
→ vértice
1 ) sentido da concavidade
Se a > 0 e é o caso aqui pois a = 1 e 1 > 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
cima, na forma de um "U" em ponto grande
Se a < 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
baixo, na forma de "∩" , que parece um U invertido em ponto grande.
Observação 3 → o "a" é o coeficiente de termo em x²
Observação 4 → Coeficientes "fantasmas"
Atrás do "x² " não está nada.
Quando assim é está lá o " 1 " a multiplicar pelo "x²" , logo " 1 * x² ".
Só que os matemáticos decidiram que não era preciso estar sempre a
escrevê-lo.
Mas ele está lá quando for necessário o utilizar ou fazer cálculos com ele.
Esta informação sobre a orientação da concavidade é importantíssima.
Dá logo para ver que ao fazer o gráfico ele vai ter a forma certa.
2 ) Cálculo dos zeros
f (x)= x² + 4x - 5
Fórmula de Bhascara
x = ( - b ± √Δ ) /(2*a) com Δ = b² - 4 * a * c
a = 1
b = 4
c = - 5
Δ = 4² - 4 * 1 * ( - 5 ) = 16 + 20 = 36
√Δ = √36 = 6
x1 = ( - 4 + 6 ) / ( 2 * 1 )
x1 = 2 / 2
x1 = 1
x2 = ( - 4 - 6 ) / 2
x2 = - 10 / 2
x2 = - 5
2) Cálculo do ponto interseção com eixo Y
Ponto no eixo Y tem sempre coordenadas do tipo ( 0 ; ? )
O "?" resulta de calcular f (0)
f(0) = 0² + 4 * 0 - 5
É o ponto ( 0 ; - 5 )
3) Cálculo do vértice
Vértice ( )
Vértice ( )
Vértice ( - 2 ; - 9 )
Com estas informações consegue fazer o gráfico ( ver em anexo 1 )
Mas...
Isto é só para a primeira parte da pergunta.
Que é construir o gráfico da função f (x)= x² + 4x - 5
Nesta fase é construir o gráfico em que os valores para coordenadas em
x podem ser quaisquer números reais.
Quaisquer.
Exemplo:
x = - 1 000 000,2
x = - 500,9876
x = - 39
x = 78,63
x = 1 200 004,98
Percebe bem que são todos os valores Reais de x.
E com todos estes valores que nunca acabam, consegue fazer uma
parábola que é uma linha curva contínua de uma ponta a outra.
Olhe bem para o 1º gráfico ( anexo 1 )
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
Agora esqueça quase tudo o que fez acima.
Continua a usar f (x) = x² + 4x - 5
Mas ...
Vai "brincar" a encontrar pontos isolados. ( anexo 2)
Não mais uma bela linha curva na forma de parábola !!
Pergunta e responde :
Qual o valor de "coordenada em y" quando "coordenada em x" for " - 5 "?
ou seja
usar o primeiro valor de x que está no domínio D = { - 5 , - 4 , - 2 , 0 , 1 }
E continua a fazer a mesma pergunta para os restantes valores do
domínio D.
Com essas perguntas e respostas vai ter as coordenadas de 5 pontos !!
E é a representação gráfica destes cinco pontos isolados, que lhe vai
aparecer no segundo gráfico !!!
Segunda parte
sendo o domínio D = { - 5 , - 4 , - 2 , 0 , 1 }
Quando se considera domínio D = { - 5 , - 4 , - 2 , 0 , 1 } estamos só a falar de pontos isolados.
Não misturar com a anterior.
f (x)= x² + 4x - 5
f ( - 5 ) = ( - 5 )² + 4 * ( - 5 ) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0
Ponto R ( - 5 ; 0)
f ( - 4 ) = ( - 4 )² + 4 * ( - 4 ) - 5 = 16 - 16 - 5 = - 5
Ponto S ( - 4 ; - 5 )
f ( - 2) = ( - 2 )² + 4 * ( - 2 ) - 5 = 4 - 8 - 5 = 4 - 13 = - 9
Ponto T ( - 2 ; - 9 )
f (0) = 0² + 4 * 0 - 5 = - 5
Ponto U ( 0 ; - 5 )
f (1) = 1² + 4 * 1 - 5 = 5 - 5 = 0
Ponto V ( 1 ; 0 )
Bom estudo.
-------------------------------
Sinais: ( |R ) conjunto dos números Reais ( ∈ ) pertence a
( ≠ ) diferente de ( > ) maior do que ( < ) menor do que
( Δ ) letra grega , "delta" e representa "b² - 4 * a * c " na Fórmula de Bhascara
( x1 e x2 ) nomes dados aos zeros ( * ) multiplicação
Resposta:
Sentido da concavidade está virada para cima
Zeros x = 1 e x = - 5 ( estão nos pontos B e C )
Ponto interseção com eixo Y é o ponto ( 0 ; - 5 ) , ponto D
Vértice ( - 2 ; - 9 ) ponto A
( ver ficheiros em anexo )
Explicação passo-a-passo:
c ) f (x)= x² + 4x - 5
Observação 1 → Forma geral das equações completas do 2º grau
São do tipo :
f (x) = ax² + bx + c onde "a" , "b" e "c" ∈ |R e a = ≠ 0
Aqui temos uma equação completa do 2º grau.
Primeira parte
Calcular e representar em gráfico da parábola :
→ sentido da concavidade
→ os zeros da função
→ o ponto em que ele intercepta o eixo Y
→ vértice
1 ) sentido da concavidade
Se a > 0 e é o caso aqui pois a = 1 e 1 > 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
cima, na forma de um "U" em ponto grande
Se a < 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
baixo, na forma de "∩" , que parece um U invertido em ponto grande.
Observação 3 → o "a" é o coeficiente de termo em x²
Observação 4 → Coeficientes "fantasmas"
Atrás do "x² " não está nada.
Quando assim é está lá o " 1 " a multiplicar pelo "x²" , logo " 1 * x² ".
Só que os matemáticos decidiram que não era preciso estar sempre a
escrevê-lo.
Mas ele está lá quando for necessário o utilizar ou fazer cálculos com ele.
Esta informação sobre a orientação da concavidade é importantíssima.
Dá logo para ver que ao fazer o gráfico ele vai ter a forma certa.
2 ) Cálculo dos zeros
f (x)= x² + 4x - 5
Fórmula de Bhascara
x = ( - b ± √Δ ) /(2*a) com Δ = b² - 4 * a * c
a = 1
b = 4
c = - 5
Δ = 4² - 4 * 1 * ( - 5 ) = 16 + 20 = 36
√Δ = √36 = 6
x1 = ( - 4 + 6 ) / ( 2 * 1 )
x1 = 2 / 2
x1 = 1
x2 = ( - 4 - 6 ) / 2
x2 = - 10 / 2
x2 = - 5
2) Cálculo do ponto interseção com eixo Y
Ponto no eixo Y tem sempre coordenadas do tipo ( 0 ; ? )
O "?" resulta de calcular f (0)
f(0) = 0² + 4 * 0 - 5
É o ponto ( 0 ; - 5 )
3) Cálculo do vértice
Vértice ( -\frac{b}{2a} ;-\frac{delta}{4a}−
2a
b
;−
4a
delta
)
Vértice ( -\frac{4}{2*1} ;-\frac{36}{4*1}−
2∗1
4
;−
4∗1
36
)
Vértice ( - 2 ; - 9 )
Com estas informações consegue fazer o gráfico ( ver em anexo 1 )
Mas...
Isto é só para a primeira parte da pergunta.
Que é construir o gráfico da função f (x)= x² + 4x - 5
Nesta fase é construir o gráfico em que os valores para coordenadas em
x podem ser quaisquer números reais.
Quaisquer.
Exemplo:
x = - 1 000 000,2
x = - 500,9876
x = - 39
x = 78,63
x = 1 200 004,98
Percebe bem que são todos os valores Reais de x.
E com todos estes valores que nunca acabam, consegue fazer uma
parábola que é uma linha curva contínua de uma ponta a outra.
Olhe bem para o 1º gráfico ( anexo 1 )
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
Agora esqueça quase tudo o que fez acima.
Continua a usar f (x) = x² + 4x - 5
Mas ...
Vai "brincar" a encontrar pontos isolados. ( anexo 2)
Não mais uma bela linha curva na forma de parábola !!
Pergunta e responde :
Qual o valor de "coordenada em y" quando "coordenada em x" for " - 5 "?
ou seja
usar o primeiro valor de x que está no domínio D = { - 5 , - 4 , - 2 , 0 , 1 }
E continua a fazer a mesma pergunta para os restantes valores do
domínio D.
Com essas perguntas e respostas vai ter as coordenadas de 5 pontos !!
E é a representação gráfica destes cinco pontos isolados, que lhe vai
aparecer no segundo gráfico !!!
Segunda parte
sendo o domínio D = { - 5 , - 4 , - 2 , 0 , 1 }
Quando se considera domínio D = { - 5 , - 4 , - 2 , 0 , 1 } estamos só a falar de pontos isolados.
Não misturar com a anterior.
f (x)= x² + 4x - 5
f ( - 5 ) = ( - 5 )² + 4 * ( - 5 ) - 5 = 25 - 20 - 5 = 0
Ponto R ( - 5 ; 0)
f ( - 4 ) = ( - 4 )² + 4 * ( - 4 ) - 5 = 16 - 16 - 5 = - 5
Ponto S ( - 4 ; - 5 )
f ( - 2) = ( - 2 )² + 4 * ( - 2 ) - 5 = 4 - 8 - 5 = 4 - 13 = - 9
Ponto T ( - 2 ; - 9 )
f (0) = 0² + 4 * 0 - 5 = - 5
Ponto U ( 0 ; - 5 )
f (1) = 1² + 4 * 1 - 5 = 5 - 5 = 0
Ponto V ( 1 ; 0 )
Bom estudo.