Question

construa o gráfico da seguinte função y =f(x) , f: R R , dada por f(x) = x2 + 3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Wendel, que a resolução é simples. É apenas um pouquinho trabalhosa. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para construir o gráfico da seguinte função do 2º grau, que é dada por: 

f(x) = x²+ 3 

Note que uma função do 2º grau tem esta forma: f(x) = ax² + bx + c. No caso da função da sua questão não há o termo "b", o que você poderá substituí-lo por zero, ficando assim, para colocá-la na sua forma completa:

f(x) = x² + 0x + 3 ---- esta forma de escrita é equivalente à dada: f(x) = x²+3.

ii) Agora vamos trabalhar para encontrar os valores de "x" a fim de construir o gráfico dela.

iii) Veja: primeiro deveríamos encontrar suas raízes reais para sabermos onde o gráfico dela (uma parábola) cortaria o eixo dos "x" (o gráfico de uma equação do 2º grau - parábola -  cortará o eixo dos "x" exatamente no local de suas raízes). 
Mas vendo a função dada [f(x) = x² + 0x + 3] vemos que ela não vai ter raízes reais (mas apenas raízes complexas) pois o seu delta é negativo. Veja:

Δ = b²-4ac 

Note que os coeficientes da função da sua questão [f(x) = x² + 0x + 3] são estes:

a = 1 ---- (é o coeficiente de x²) 
b = 0 --- (é o coeficiente de "x"). Veja que a função é incompleta e não tem o termo "b". Por isso o consideraremos igual a zero.
c = 3 --- (é o coeficiente do termo independente). 

Agora vamos calcular o seu delta e veremos que ele é negativo. Por isso é que já concluímos que a função dada não terá raízes reais:

Δ = b² - 4ac ----- fazendo as devidas substituições, teremos: 
Δ = (0)² - 4*1*3
Δ = 0 - 12 
Δ = - 12 <--- Veja aí a razão pela qual a equação da sua questão não tem raízes reais. 

iv) Assim, se uma equação do 2º grau não tem raízes reais, então o seu gráfico NÃO cortará o eixo dos "x". Ou o gráfico (parábola) iniciará acima do eixo dos "x", com a concavidade voltada pra cima (se o termo "a" for positivo), ou o gráfico (parábola) iniciará abaixo do eixo dos "x" com a concavidade voltada pra baixo (se o termo "a" for negativo). 

v) No caso, como o termo "a" da função da sua questão [f(x) = x²+0x+3] é positivo, então já sabemos que o seu gráfico (parábola) começará acima do eixo dos "x"  e com a concavidade voltada pra cima.

vi) Então o que nos restará fazer é dar valores a "x" para construir o gráfico da função. Logo, vamos fazer o seguinte: 

- Para x = 0, teremos:

f(0) = 0² + 0*0 + 3 
f(0) = 0 + 0 + 3 ---- ou apenas: 
f(0) = 3 <---- isto significa que o gráfico (parábola) cortará o eixo dos "y" em y = 3, ou seja, no ponto (0; 3)


- Para "x" e "y" do vértice da parábola, utilizaremos as seguintes fórmulas: 

. O "x" do vértice é dado pela seguinte fórmula: 

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b'' por "0" e "a" por "1" (vide coeficientes), temos: 

xv = -0/2*1 
xv = 0/2 
xv = 0 <--- Este será o "x" do vértice da parábola.

. O "y" do vértice será dado por: 

yv = -Δ/4a ---- como Δ = b²-4ac, teremos:
yv = -(b²-4ac)/4a ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes), temos: 

yv = -(0² - 4*1*3)/4*1 
yv = - (0 - 12)/4 ------ ou apenas:
yv = - (-12)/4 ----- ou apenas: 
yv = 12/4 
yv = 3 <---- Este é o "y" do vértice. 

Assim, o vértice da parábola dar-se-á exatamente no ponto (0; 3).


vii) Como você viu, já temos tudo para construir o gráfico da função da sua questão. Como aqui no Brainly não sabemos construir gráficos, então veja-o no endereço abaixo e constate tudo o que dissemos sobre essa função. Veja lá: 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%C2%B2+%2B+3

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.