Question

Construa o gráfico da função f(x) = -x² + 4x -4 para valores
De x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 e x = 4 .

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$f(x) = -x^2 + 4x - 4 \left\{\begin{array}{lll}a = -1\\b = 4\\c = - 4\end{array}\right$

Como $a < o$, a o gráfico da função tem concavidade voltada para baixo.

Como c = o, o gráfico da função corta o eixo y no ponto (0, 4) _ sempre no ponto (0, c).

Raízes da função:

$x^2 + 4x - 4 = 0\\\bigtriangleup = b^2 - 4 \cdot a \cdot c\\\bigtriangleup = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)\\\bigtriangleup = 16 - 16\\\bigtriangleup = 0\\x = \frac{- 4 \pm \sqrt{0} }{2 \cdot (-1)} = \frac{- 4 \pm 0}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$

A equação tem uma única raiz que é o número x = 2.

Vértice:

$x_v = \frac{-b}{2 \cdot a} = \frac{-4}{2 \cdot (-)} = \frac{-4}{-2} = 2\\\\y_v = \frac{-\bigtriangleup}{4 \cdot a} = \frac{0}{4 \cdot (-1)} = \frac{0}{-4} = 0$

O vértice é o ponto V(2, 0)

Determinando os pontos para os valores de x indicados:

$x = 0 \Rightarrow f(0) = - 0^2 + 4 \cdot 0 - 4 = 0 + 0 - 4 = - 4\Rightarrow (0, 1)\\\\x = 1 \Rightarrow f(1) = - 1^2 + 4 \cdot 1 - 4 = - 1 + 4 - 4 =- 1\Rightarrow (1, -1)\\\\x = 2 \Rightarrow f(2) = - 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = - 4 + 8 - 4 = 0\Rightarrow (2, 0)\\\\x = 3 \Rightarrow f(3) = - 3^2 + 4 \cdot 3 - 4 = - 9 + 12 - 4 = -1 \Rightarrow (3,-1)\\\\x = 4 \Rightarrow f(4) = - 4^2 + 4 \cdot 4 - 4 = - 16 + 16 - 4 = -4 \Rightarrow (4,-4)$

Portanto, o gráfico da função passa pelos pontos (0,1), (1,-1), (2,0), (3,-1) e (4,-4).

Colocando esses pontos no gráfico, marcando o ponto que é o vértice, sabendo que ele tem apenas uma raiz (vai cortar o eixo x em apenas um ponto) e sabendo que a concavidade está voltada para baixo, dá para esboçar o gráfico da função.