Question

Construa o gráfico da função f(x) = |x² - 1|

Ps: já sei como vai ficar o gráfico (segue na imagem) porém preciso da resolução o quanto antes!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf f(x)=|~x^2-1~|$

$\sf f(x)=\begin{cases} \sf x^2-1,~se~x^2-1 \ge 0 \\ \sf -(x^2-1),~se~x^2-1 < 0 \end{cases}$

$\sf f(x)=\begin{cases} \sf x^2-1,~se~x \le -1~ou~x \ge 1 \\ \sf -x^2+1,~se~-1 < x < 1 \end{cases}$

1) $\sf x^2-1,~se~x \le -1~ou~x \ge 1$

=> Para x = -2:

$\sf f(-2)=(-2)^2-1$

$\sf f(-2)=4-1$

$\sf f(-2)=3$

O gráfico passa pelo ponto (-2, 3)

=> Para x = -1:

$\sf f(-1)=(-1)^2-1$

$\sf f(-1)=1-1$

$\sf f(-1)=0$

O gráfico passa pelo ponto (-1, 0)

=> Para x = 1:

$\sf f(1)=1^2-1$

$\sf f(1)=1-1$

$\sf f(1)=0$

O gráfico passa pelo ponto (1, 0)

=> Para x = 2:

$\sf f(2)=2^2-1$

$\sf f(2)=4-1$

$\sf f(2)=3$

O gráfico passa pelo ponto (2, 3)

2) $\sf -x^2+1,~se~-1 < x < 1$

Como o coeficiente de $\sf x^2$ é negativo, no intervalo $\sf -1 < x < 1$, temos uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

=> Para $\sf x=\dfrac{-1}{2}$:

$\sf f\Big(\dfrac{-1}{2}\Big)=-\Big(\dfrac{-1}{2}\Big)^2+1$

$\sf f\Big(\dfrac{-1}{2}\Big)=-\dfrac{1}{4}+1$

$\sf f\Big(\dfrac{-1}{2}\Big)=\dfrac{-1+4}{4}$

$\sf f\Big(\dfrac{-1}{2}\Big)=\dfrac{3}{4}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(\dfrac{-1}{2},\dfrac{3}{4}\Big)$

=> Para $\sf x=\dfrac{1}{2}$:

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2+1$

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=-\dfrac{1}{4}+1$

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=\dfrac{-1+4}{4}$

$\sf f\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=\dfrac{3}{4}$

O gráfico passa pelo ponto $\sf \Big(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\Big)$

=> Vértice

• $\sf x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{0}{2\cdot(-1)}$

$\sf x_V=\dfrac{0}{-2}$

$\sf x_V=0$

• $\sf y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf \Delta=0^2-4\cdot(-1)\cdot1$

$\sf \Delta=0+4$

$\sf \Delta=4$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{4\cdot(-1)}$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{-4}$

$\sf y_V=1$

O vértice é $\sf V(0,1)$ e corresponde ao valor máximo dessa função no intervalo $\sf -1 < x < 1$