Question

Consideremos um triângulo cujos vértices estão sobre os pontos A = (– 2, –1, – 3), B = (– 1, 5, –1) e C = (1, 0, 5). Utilizando as informações descrita acima, determine: a) a medida do ângulo interno relativo ao vértice C. b) a medida da área do triângulo.

Answer 1

A medida do ângulo interno relativo ao vértice C é, aproximadamente, 45,05º; A medida da área do triângulo é $\frac{\sqrt{2409}}{2}$ u.a.

a) Vamos determinar os vetores AC e BC. Sendo A = (-2,-1,-3), B = (-1,5,-1) e C = (1,0,5), temos que:

AC = (1,0,5) - (-2,-1,-3)

AC = (3,1,8)

e

BC = (1,0,5) - (-1,5,-1)

BC = (2,-5,6).

Agora, precisamos calcular o produto interno <AC,BC>. Então:

<AC,BC> = 3.2 + 1.(-5) + 8.6

<AC,BC> = 6 - 5 + 48

<AC,BC> = 49.

As normas dos vetores AC e BC são iguais a:

$||AC||=\sqrt{3^2+1^2+8^2}=\sqrt{74}$

$||BC||=\sqrt{2^2+(-5)^2+6^2}=\sqrt{65}$.

Portanto, a medida do ângulo interno relativo ao vértice C é:

$cos(\alpha)=\frac{49}{\sqrt{74}\sqrt{65}}$

$cos(\alpha)=\frac{49}{\sqrt{4810}}$

$\alpha=arccos(\frac{49}{\sqrt{4810}})$

α ≈ 45,05º.

b) Com os vetores AC e BC, vamos calcular o produto vetorial AC x BC:

$AC X BC = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&1&8\\2&-5&6\end{array}\right]$

AC x BC = i(1.6 - (-5).8) - j(3.6 - 2.8) + k(3.(-5) - 2.1)

AC x BC = 46i - 2j - 17j

AC x BC = (46,-2,-17).

Agora, vamos calcular a norma do vetor AC x BC:

$||AC x BC||=\sqrt{46^2+(-2)^2+(-17)^2}=\sqrt{2409}$.

Portanto, a área do triângulo é igual a:

$S=\frac{\sqrt{2409}}{2}$ u.a.