Question

Consideremos um polígono regular de 10 lados, quantos retângulos distintos podemos formar ligando 4 vértices desse polígono? E se fossem n lados $n \geq 4$ ?

Answer 1

Retângulos em um eneágono regular

   O primeiro passo é, certamente, saber o que é um retângulo:

   Quadrilátero com todos os ângulos internos iguais a 90°.

   Para que possamos resolver o problema de forma mais simples, vamos usar uma característica evidente do retângulo:

   Suas diagonais possuem a mesma medida e interceptam-se em seu centro.

   Observe que, ao olharmos para essa característica, podemos contar o número de retângulos que podem ser formados por n vértices usando uma relação entre as diagonais que passam pelo centro.

   Entenda que, para todo retângulo formado pelas combinações de vértices, suas respectivas diagonais (que são duas) deverão passar pelo centro da circunferência a qual o eneágono está inscrito.

   De todas as diagonais que passam pelo centro, vamos escolhê-las duas a duas para que formem retângulos distintos.

   1° Caso:

      n ímpar: nenhuma diagonal passa pelo centro, pois não há vértices diametralmente opostos.

   2° Caso:

     n par: temos n/2 diagonais passando pelo centro no polígono, pois cada vértice possui um diametralmente oposto.

   Conclusão:

     Para polígonos com quantidade ímpar de lados, não podemos desenhar nenhum retângulo pela combinação dos vértices.

     Para polígonos com quantidade par de lados, temos o número de retângulos igual a:

$N_{ret}=\dbinom{k}{2}\Rightarrow N_{ret}=\dfrac{k!}{2!(k-2)!}$

$\Rightarrow N_{ret}=\dfrac{k\cdot(k-1)}{2}$

   Sendo k = n/2.

$N_{ret}=\dfrac{n\cdot(n-2)}{8}$

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