Question

Consideremos a equação polinomial x³ - 2x² + ax + b = 0. Sabendo que os números 1 e -3 são raízes da equação, calcule a terceira raiz e escreva a equação.

Answer 1

Se 1 e -3 são raizes, temos:
1^3 - 2.(1)^2 + a.(1) + b = 1 -2+a+b = 0 ; a+b = 1 (eq 1)
(-3)^3 - 2. (-3)^2 + a.(-3) + b = -27 - 18 -3a +b = 0; -3a+b = 45 (eq 2)

eq1:
a + b = 1; a = 1-b

substituindo na (eq2), temos:
-3(1-b)+b=45 ; -3 + 3b + b = 45; 4b = 48; b=12
a = 1 - b = -11

a = -11 e b =12

x³ - 2x² -11x + 12 = 0

sabendo que x = 1 é raiz, temos:

x³ - 2x² -11x + 12  = (x-1)(x² -x - 12)


x² -x - 12 com raízes x' = -3 e x'' = 4 (3º raíz)

Resposta: 3º raíz (x=4) e expressão x³ - 2x² -11x + 12 = 0