Question

Considerem a palavra
LÓGICA:
a) Quantos anagramas começam com LO?
b) Quantos começam e terminam com vogal?
c) Em quantos anagramas as letras L, O, G estão juntas, nessa ordem?
g) Em quantos as letras L, O, G estão juntas?​

Answer 1

Na palavra "lógica", temos 6 letras e, como nenhuma delas é repetida, podemos utilizar a permutação simples para determinar o número de anagramas da palavra ou de parte dela.

a)

Fixando as duas letras "LO" nesta ordem no início dos anagramas, teremos a possibilidade de permutar apenas as 4 letras restantes ("G", "I", "C" e "A").

$\sf \underline{~L~}~\underline{~O~}~\underbrace{\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}}_{P_4}$

$\sf Total~de~Anagramas~=~P_4\\\\Total~de~Anagramas~=~4!\\\\Total~de~Anagramas~=~4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\\\\boxed{\sf Total~de~Anagramas~=~24}$

b)

Temos 3 vogais em "logica", ou seja, temos 3 possíveis escolhas de vogal para ocupar 2 posições, sendo que a ordem neste caso caracteriza palavras diferentes.

$\sf \underline{~^{Vogal}~}~\underbrace{\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}}_{P_4}~\underline{^{Vogal}}$

O número de formas de escolher estas duas vogais considerando sua ordem pode ser calculado por um arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2 (A₃,₂).

$\sf A_{3,2}~=~\dfrac{3!}{(3-2)!}~=~\dfrac{3\cdot 2\cdot 1}{1!}~=~6$

Vamos lembrar que ainda temos as 4 letras restantes (três consoantes e uma vogal), que podem ser permutadas. Dessa forma, o total de anagramas será dado pelo produto entre o número de permutações dessas 4 letras e A₃,₂ (calculado anteriormente).

$\sf Total~de~Anagramas~=~A_{3,2}\cdot 4!\\\\Total~de~Anagramas~=~6\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\\\\boxed{\sf Total~de~Anagramas~=~144}$

c)

Fixando estas 3 letras nesta ordem, teremos 4 modos de formar os anagramas:

$\sf \underline{~L~}~\underline{~O~}~\underline{~G~}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}\\\\\underline{~~~~\,}~\underline{~L~}~\underline{~O~}~\underline{~G~}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}\\\\\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~L~}~\underline{~O~}~\underline{~G~}~\underline{~~~~\,}\\\\\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~~~~\,}~\underline{~L~}~\underline{~O~}~\underline{~G~}$

Nos 4 modos apresentados, temos ainda a possibilidade de permutação das 3 letras restantes, ou seja, o número total de anagramas é igual a:

$\sf Total~de~Anagramas~=~4\cdot P_3\\\\Total~de~Anagramas~=~4\cdot 3!\\\\Total~de~Anagramas~=~4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\\\\boxed{\sf Total~de~Anagramas~=~24}$

d)

Estes anagramas são muito semelhantes aos vistos no item anterior, no entanto agora podemos ainda alterar a ordenação das letras "L", "O" e "G" entre si, temos P₃ formas de ordenar estas 3 letras.

Assim, aproveitando o que foi dito no item anterior, teremos:

$\sf Total~de~Anagramas~=~4\cdot P_3\cdot P_3\\\\Total~de~Anagramas~=~4\cdot 3!\cdot 3!\\\\Total~de~Anagramas~=~4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1\\\\\boxed{\sf Total~de~Anagramas~=~144}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$