Question

Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y, obtém-se
quociente z e resto 1. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica
4,333333... Então, o valor de x + y + z é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) N.D.A

Answer 1

$\large{ \boxed{ \boxed{\sf \: c) \: 20}}}$

Solução

Pelo enunciado, temos que a divisão de x por y, obtemos a quociente z e o resto 1, então, podemos expressar essa relação da seguinte maneira:

$\large{ \sf \: x = y \cdot \: z + 1}$

Vamos dividir essa relação por y:

$\large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{y \cdot \: z + 1}{y} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{y \cdot \: z }{y} + \dfrac{1}{y} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{ \cancel{y} \cdot \: z }{ \cancel{y}} + \dfrac{1}{y} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = z + \dfrac{1}{y} }$

Por outro lado, a razão $\sf \: \frac{x}{y}$ é dada pela dizima $\sf \: 4{,}333333 \dots$. Podemos expressar essa dizima em fração da seguinte forma:

$\large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{43 - 4}{9} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{39}{9} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{ {39}^{ \red{ \div 3}} }{ {9}^{ \red{ \div 3}} } } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{13}{3} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{12 + 1}{3} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \dfrac{12}{3} + \frac{1}{3} } \\ \\ \large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = 4 + \dfrac{1}{3} }$

Podemos comparar essa última expressão com a expressão que obtemos acima. Desta forma, obtemos:

$\large{ \sf \: \dfrac{x}{y} = \overbrace{4}^{z} + \dfrac{1}{3} }$

Assim, temos que:

$\large{ \sf \: \begin{cases} \tt \: x = 13 \\ \tt \: y = 3 \\ \tt \: z = 4\end{cases} }$

Logo, temos que:

$\large{ \sf \: x + y + z = 13 + 3 + 4 = \blue{20} }$

Assim, temos a opção $\sf \: c) \: 20$ como resposta.