Question

Considere x a diferença entre o mmc eo mdc dos números 12 18 30 o número de divisor naturais de x e

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rafael, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Considere "x" a diferença entre o MMC e o MDC dos números "12", "18" e "30". Dadas essas informações, determine o número de divisores naturais de "x".

ii) Veja como é simples. Primeiro vamos encontrar o MMC e o MDC dos números "12", "18" e "30". Para isso, fatoraremos esses três números, valendo observar que, após a fatoração, teremos: o MMC será o produto de todos os fatores primos encontrados; e o MDC será o produto dos fatores primos que dividiram, SIMULTANEAMENTE, os três números dados (12, 18 e 30). Então vamos fatorá-los:

12, 18, 30 | 2

.6, .9, .15 | 2

.3, .9, .15 | 3

..1, .3, ..5 | 3

..1, .1, .. 5 | 5

..1, ...1, ... 1 |

Agora veja: o MMC será o produto de todos os fatores primos encontrados. Logo, o MMC será: 2²*3²*5 = 4*9*5 = 180 . E o MDC será o produto daqueles fatores primos que dividiram, SIMULTANEAMENTE, os números fatorados (12, 18 e 30). E os fatores primos que dividiram simultaneamente esses três números foram: o fator primo "2" (uma vez, logo: 2¹) e o fator primo "3" (também uma vez, logo: 3¹). Assim, o MDC será: 2¹*3¹ = 2*3 = 6.

iii) Assim, vamos encontrar o valor de "x", que, conforme vimos no enunciado da questão, é a diferença entre o MMC e o MDC dos três números dados (12, 18 e 30). Logo, "x" será dado por:

x = MMC(12, 18, 30) - MDC (12, 18, 30) ----- substituindo-se o MMC por "180" e o MDC" por "6", teremos:

x = 180 - 6

x = 174 <--- Este é o valor de "x".

iv) Agora vamos fatorar número 174 para encontrar a quantidade de divisores naturais desse número (174). Vamos fatorá-lo:

174 | 2

. 87 | 3

.29 | 29

.....1 |.

Note que o número 174, após fatorado, é: 174 = 2¹ * 3¹ * 29¹.

Agora, para encontrar a quantidade de divisores naturais do número "174", basta que somemos "1" unidade a cada expoente dos fatores primos (2¹; 3¹ e 29¹) e, após isso, façamos o produto entre cada expoente somado de "1" unidade. Assim, como o expoente de cada fator primo é "1", então basta que somemos "1" unidade a cada expoente "1" e depois façamos o produto. Assim, teremos (chamando a quantidade de divisores naturais de um certo "N"):

N = (1+1)*(1+1)*(1+1) ----- desenvolvendo, temos:

N = (2)*(2)*(2)

N = 8 <--- Esta é a resposta. Ou seja, o número "174" tem 8 divisores naturais.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade mesmo. Note que os divisores naturais de "174" são estes:

d(174) = 1; 2; 3; 6; 29; 58; 87; 174 <--- Veja que são exatamente 8 divisores naturais.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.