Considere uma sequência infinita de quadrados (Q1, Q2, Q3...) em que a medida do lado de cada quadrado é a decima parte da medida do lado do quadrado anterior. Sabendo que o lado de Q1 vale 10 cm, determine a soma dos perímetros e a soma das áreas de todos os quadrados.
Soluções para a tarefa
Perímetro
Q1=10 cm
Q2=10/10 => Q2=1 cm
Q3=1/10
1/10=1/10/1
1/10=1/10 ok
Temos uma PG infinita
Perímetro do primeiro quadrado
10.4=40 cm
do segundo
1.4=4 cm
do terceiro => 1/10.4 = 4/10 => 2/5
4/40=(2/5)/4
1/10=2/5.1/4
1/10=2/20
1/10=1/10
os perímetros formam também uma PG infinita de razão = 1/10
Sn=a1/(1-q)
Sn=40/(1-1/10)
Sn=40/(9/10)
Sn=40/(9/10)
Sn=40.10/9
Sn=400/9 cm #
=================
área
10²=100 cm²
1²=1
(1/10)²=1/100
(1/100)/1=1/100
1/100=1/100
Sn=a1/(1-q)
Sn=100/(1-1/100)
Sn=100/(99/100)
Sn=100.100/99
Sn=10000/99 cm² #
A soma dos perímetros e a soma das áreas de todos os quadrados são, respectivamente, 400/9 e 10000/99.
A área de um quadrado é igual ao produto de suas dimensões. De acordo com o enunciado, o primeiro quadrado possui lado igual a 10 cm. Então a sua área é igual a 10.10 = 100 cm².
O perímetro é igual a soma de todos os lados de uma figura. Então, o perímetro do primeiro quadrado é igual a 10 + 10 + 10 + 10 = 40 cm.
Como a medida do lado de cada quadrado é a décima parte da medida do lado do quadrado anterior, então:
Segundo quadrado → lado 1 cm, área 1 cm² e perímetro 4
Terceiro quadrado → lado 1/10 cm, área 1/100 cm² e perímetro 1/40 cm
Quarto quadrado → lado 1/100 cm, área 1/10000 cm² e perímetro 1/400 cm
E assim por diante.
Observe que as sequências (100, 1, 1/100, 1/10000, ...) e (40, 4, 1/40, 1/400, ...) são progressões geométricas.
Para calcularmos a soma dos perímetros e das áreas, vamos utilizar a fórmula da soma da progressão geométrica infinita:
.
Na área, o primeiro termo é 100 e a razão é 1/100. Assim, a soma é:
S = 100/(1 - 1/100)
S = 100/(99/100)
S = 100.100/99
S = 10000/99.
No perímetro, o primeiro termo é 40 e a razão é 1/10. Assim, a soma é:
S = 40/(1 - 1/10)
S = 40/(9/10)
S = 40.10/9
S = 400/9.
Para mais informações sobre progressão geométrica: https://brainly.com.br/tarefa/11668900
