Question

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a1 = 1 + x

Answer 1

Considerando a progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por A₁ = 1 + x, A₂ = 6x, e A₃ = 2x² + 4, podemos concluir que:

• a) o valor de x nestas expressões algébricas pode ser representado 5 ou 1/2;
• b) utilizando o menor valor obtido para x, ou seja, 1/2, a soma dos 100 primeiros termos da progressão será de 7.575.

Progressões aritméticas

Para resolver esta questão utilizaremos duas fórmulas associadas às progressões aritméticas: a fórmula do termo geral e a fórmula da soma dos termos. A fórmula do termo geral é:

An = A₁ + (n - 1)r, onde A₁ é o primeiro termo, n é a posição de um termo e r é a razão.

A fórmula da soma dos termos é:

Sn = [(A₁ + An)n]/2, onde An é o termo n, e n é a posição do termo.

Assim, temos que os três primeiros termos são determinados por três diferentes expressões algébricas. Os termos são os seguintes:

• A₁ = 1 + x;
• A₂ = 6x;
• A₃ = 2x² + 4.

Sabendo que a razão de uma progressão aritmética é constante e determinada pela diferença de seus termos, podemos elaborar a seguinte equação:

A₃ - A₂ = A₂ - A₁

Substituindo os valores, teremos o seguinte:

(2x² + 4) - 6x = 6x - (1 + x)

2x² + 4 - 6x - 6x + (1 + x) = 0

2x² - 11x + 5 = 0

Obtivemos assim uma equação de segundo grau, que resolveremos pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-11)² - 4 × 2 × 5

Δ = 121 - 40

Δ = 81

x = (-b ± √Δ)/2a

x = [-(-11) ± √81]/2 × 2

x = (11 ± 9)/4

x' = 11+9/4

x' = 20/4

x' = 5

x" = 11-9/4

x" = 2/4

x" = 1/2

Assim, descobrimos que os valores possíveis para x são 5 e 1/2.

Agora, devemos calcular a soma dos 100 primeiros termos da progressão para o menor valor de x obtido, ou seja, 1/2. Começaremos descobrindo os valores de cada termo, substituindo o x nas expressões algébricas fornecidas. Logo:

• A₁ = 1 + 1/2 = 3/2 = 1,5;
• A₂ = 6 × 1/2 = 6/2 = 3;
• A₃ = 2 × (1/2)² + 4 = 18/4 = 9/2 = 4,5.

Assim, descobrimos que A₁ corresponde a 1,5; A₂ corresponde a 3; e A₃ corresponde a 4,5. Agora, precisamos calcular a razão, para isto, basta calcular a diferença entre um elemento e seu anterior. Assim:

• A₃ - A₂ = 4,5 - 3 = 1,5;
• A₂ - A₁ = 3 - 1,5 = 1,5.

Assim, descobrimos que 1,5 é a razão da nossa progressão. Sabendo agora o valor do primeiro termo e a razão podemos calcular o valor do termo número 100, pois saber seu valor será necessário no cálculo da soma dos 100 primeiros termos. O termo número 100 será:

A₁₀₀ = [1,5 + (100-1) × 1,5]

A₁₀₀ = 1,5 + (99 × 1,5)

A₁₀₀ = 1,5 + 148,5

A₁₀₀ = 150

Assim, descobrimos que 150 é o valor do termo número 100. Por fim, podemos calcular a soma dos 100 primeiros termos da progressão utilizando a fórmula da soma dos termos. Logo:

Sn = [(1,5 + 150) × 100]/2

Sn = 151,5 × 100/2

Sn = 15.150/2

Sn = 7.575

Assim, descobrimos que a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética é de 7.575.

Percebi que a questão está incompleta. Acho que a questão completa é essa:

"Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por a¹=1+x, a²=6x, a³=2x²+4, em que x é um número real. a) Determine os possíveis valores de X. b) Calcular a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a".

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