Question

considere uma piramide regular de base quadrada. sabendo que o lado da base mede 12cm e a altura da piramide mede 4 cm. Calcule:

A) a medida da aresta lateral
b) a área total da pirâmide

Answer 1

Vamos lá...

Nomenclaturas:

Ab = área da base.
At = área total da pirâmide.
Al = aresta lateral.
g = geratriz.
l = lado.

Aplicação:

Observe, que o exercício nos informa que a base da pirâmide é quadrangular e isso implica que todos os lados da base possui a mesma medida, assim começaremos encontrando o valor da base, veja:

$Ab = l \times l. \\ Ab = 12 \times 12. \\ Ab = 144 {cm}^{2}.$
"QUESTÃO A".

O exercício também nos apresenta a altura da pirâmide, desta forma, podemos encontrar uma relação, dentro da própria pirâmide, de um triângulo retângulo onde a própria hipotenusa(geratriz) representará o valor da nossa aresta lateral, veja:

$g ^{2} \: = ( \frac{a}{2} )^{2} + {h}^{2}. \\ \\ g^{2} = \frac{ {a}^{2} }{ {2}^{2} } + {h}^{2}. \\ \\ g ^{2} = ( \frac{(12)^{2} }{ ({2})^{2} } ) + {4}^{2}. \\ \\ g ^{2} = ( \frac{144}{4} ) + 16. \\ \\ g^{2} = 36 + 16. \\ g^{2} = 52. \\ g= \sqrt{52}. \\ g= \sqrt{ {2}^{2} \times 13 } . \\ g= 2 \sqrt{13}.$
OBS: representaremos a raiz quadrada de 52 em sua forma simplificada, o que influenciará na resposta.

Portanto, nossa geratriz representará o novo valor da nossa altura, com isso, podemos calcular a área lateral da pirâmide, entretanto, perceba que, inicialmente, calculamos a área da base, assim, utilizaremos a propriedade da área de uma pirâmide.


$Al = \frac{b \times g}{2} \\ \\ Al = \frac{12 \times2 \sqrt{13} }{2} \\ \\ Al = 12 \sqrt{13} {cm}^{2}.$
Por fim, conhecendo a área lateral total de uma das partes da pirâmide, devemos multiplicar o mesmo pelo número de vértices da base, pois representará as outras faces existentes na piramide.

$At = 4 \times 12 \sqrt{13}. \\ At = 48 \sqrt{13} {cm}^{2}. \: < - - resposta \: do \: item \: b.$

"QUESTÃO B".

Para encontrarmos a área total da pirâmide, basta somarmos a área da base com a área lateral total, siga:

$At = Ab + At. \\ At = 144 + 48 \sqrt{13} {cm}^{2} < - resposta \: do \: item \: b.$
Em caso de dúvidas, pergunte :))


Espero ter ajudado.