Question

Considere uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Ao passar um plano pelo ponto A e pelos pontos médios das arestas VB e VC, a pirâmide é dividida em duas de mesmo vértice A: uma de base triangular e outra de base quadrangular. Portanto, a razão entre os volumes das pirâmides de base quadrangular e triangular, nessa ordem, é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

Answer 1

Com o estudo sobre pirâmides foi possível determinar o resultado letra b)3

Pirâmide regular

Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular. Para uma pirâmide reta de altura h com uma base n-gonal regular de comprimento lateral a e raio circunscrito R, o comprimento da aresta lateral é dado por

$e_n=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{h^2+\dfrac{1}{4}a^2csc^2\left(\dfrac{\pi }{n}\right)}$

Isso dá os casos especiais

• $e_3=\dfrac{3}{2}\sqrt{h^2+\dfrac{1}{3}a^2}$

• $e_4=2\sqrt{h^2+\dfrac{1}{2}a^2}$

• $e_5=\dfrac{5}{2}\sqrt{h^2+\dfrac{1}{10}\left(5+\sqrt{5}\right)a^2}$

• $e_6=3\sqrt{h^2+a^2}$

Da mesma forma, a altura inclinada de uma pirâmide regular com base n-gonal regular de comprimento de lado a e raio r é dada por

$S_n=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{h^2+\dfrac{1}{4}a^2cot^2\left(\dfrac{\pi }{n}\right)}$

Com base nisso vamos resolver o exercício.

$\dfrac{A_{VMN}}{A_{VAB}}=4$

$\dfrac{A_{_{VMN}}}{A_{_{VMN}}+A_{_{ABNM}}}=4\,\,\,\rightarrow \,\,\,\boxed{A_{_{ABNM}}=3\cdot A_{_{VMN}}}$

Daí,

$V_i=\dfrac{A_{_{VMN}}\cdot h}{3}$

$V_j=\dfrac{A_{_{ABNM}}\cdot h}{3}=\dfrac{3A_{_{VMN}}\cdot h}{3}=A_{_{VMN}}\cdot h$

Por fim

$\dfrac{V_i}{V_j}=\dfrac{\frac{A_{_{VMN}}\cdot h}{3}}{A_{_{VMN}}\cdot h}=\dfrac{1}{3}$

Agora basta invertermos e encontraremos o valor 3.

Saiba mais sobre pirâmide regular:https://brainly.com.br/tarefa/44575022

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