Question

Considere uma PG crescente tal que a soma dos três primeiros termos é 7 e que o segundo termo é 4/3 . Então podemos afirmar que o quarto termo dessa PG Vale:​

Answer 1

Vamos começar organizando as 2 informações dadas no enunciado.

$\Rightarrow~~a_1+a_2+a_3~=~7\\\\\Rightarrow~~a_2~=~\dfrac{4}{3}$

Já que temos o valor de a₂, vamos reescrever os termos a₁ e a₃ em função de a₂ e da razão (q) utilizando a relação do termo geral da PG.

$Termo~geral~da~PG:~~\boxed{a_n~=~a_m\cdot q^{n-m}}$

$a_1:\\\\~~~~~~a_1~=~a_2\cdot q^{1-2}\\\\~~~~~~a_1~=~a_2\cdot q^{-1}\\\\~~~~~~\boxed{a_1~=~\dfrac{a_2}{q}}$

$a_3:\\\\~~~~~~a_3~=~a_2\cdot q^{3-2}\\\\~~~~~~a_3~=~a_2\cdot q^{1}\\\\~~~~~~\boxed{a_3~=~a_2\cdot q}$

Substituindo as expressões de a₁ e a₃ na equação da soma dos três primeiros termos dada no enunciado:

$a_1~+~a_2~+~a_3~=~7\\\\\\\dfrac{a_2}{q}~+~a_2~+~a_2\cdot q~=~7\\\\\\a_2\cdot \left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)~=~7\\\\\\Substituindo~o~valor~de~a_2:\\\\\\\dfrac{4}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)~=~7\\\\\\\dfrac{1}{q}+1+q~=~7\cdot \dfrac{3}{4}\\\\\\\dfrac{1}{q}+1+q~=~\dfrac{21}{4}\\\\\\Multiplicando~toda~equacao~por~''q'':\\\\\\1~+~q~+~q^2~=~\dfrac{21}{4}\cdot q\\\\\\Multiplicando~toda~equacao~por~4:\\\\\\4~+~4q~+~4q^2~=~21q\\\\\\4q^2~+~4q~+~4~-~21q~=~0$

$\boxed{4q^2~-~17q~+~4~=~0}$

Aplicando Bhaskara (vou omitir este cálculo), chegamos a dois possíveis valores para a razão "q":

$\boxed{q'~=~4}~~~\boxed{q''~=~\dfrac{1}{4}}$

Vamos atentar então para outra informação do enunciado: a PG é crescente.

Como a PG é crescente, a razão deve ser, necessariamente, maior que 1, logo temos que a única possibilidade é que a razão seja q=4 (descartamos q'').

Por fim, podemos determinar o valor do 4° termo utilizando novamente a relação do termo geral:

$a_4~=~a_2\cdot q^{4-2}\\\\\\a_4~=~\dfrac{4}{3}\cdot 4^{2}\\\\\\a_4~=~\dfrac{4^3}{3}\\\\\\\boxed{a_4~=~\dfrac{64}{3}}\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$