Question

Considere uma PA de 20 termos Sabendo que a
oma dos dez primeiros termos é 30 e que a soma dos
ez últimos termos é 60, então o segundo termo dessa
A vale:​

Answer 1

Resposta:

$a_2=\frac{39}{20}$

Explicação passo-a-passo:

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:

$S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Sendo $r$ a razão da PA, temos que $a_{10}=a_1+9r$, logo:

$S_{10}=30$

$\frac{(a_1+a_1+9r)\cdot 10}{2}=30$

$2a_1+9r=6$

Podemos dizer que a soma dos 10 últimos termos é igual à soma de todos os termos - a soma dos 10 primeiros termos, logo:

$S_{20}-S_{10}=60$

$S_{20}-30=60$

$S_{20}=90$

Sendo $a_{20}=a_1+19r$, ficamos com:

$\frac{(a_1+a_1+19r)\cdot20}{2}=90$

$2a_1+19r=9$

Ficamos então com o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}2a_1+9r=6\\2a_1+19r=9\end{matrix}\right.$

Multiplicando a 1º equação por -1:

$\left\{\begin{matrix}-2a_1-9r=-6\\2a_1+19r=9\end{matrix}\right.$

Somando os termos de ambas as equações:

$-2a_1-9r+2a_1+19r=-6+9$

$10r=3$

$r=\frac{3}{10}$

Sendo $2a_1+9r=6$:

$2a_1+9\cdot\frac{3}{10}=6$

$2a_1+\frac{27}{10}=6$

$2a_1=6-\frac{27}{10}$

$a_1=\frac{33}{20}$

Sendo o 2º termo $a_2$ igual a $a_1+r$, concluímos que:

$a_2=\frac{33}{20}+\frac{3}{10}$

$a_2=\frac{39}{20}$