Question

Considere uma matriz A = (aij)3 x 3, com aij = 2i - j e outra matriz diagonal B = (bij)3 x 3 cujos elementos não nulos são tais que bij = 3i - 2j. O determinante da matriz D, tal que D = A - B, é:

Answer 1

Resposta:

Det Matriz D = - 12

Explicação passo-a-passo:  

Enunciado:

Considere uma matriz A = (aij)3 x 3, com aij = 2i - j e outra matriz diagonal B = (bij)3 x 3 cujos elementos não nulos são tais que bij = 3i - 2j.

O determinante da matriz D, tal que D = A - B, é:

Resolução:

Genericamente uma matriz de 3 x3 tem as seguintes entradas

$\left[\begin{array}{ccc}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\a31&a32&a33\end{array}\right]$

Na matriz A o aij = 2i - j  

O "i" corresponde a linhas

O "j" corresponde a colunas

a11 =  2*1 - 1  =   1    ou seja (2 * número da linha - número da coluna)

a12 = 2*1 - 2 =   0

a13 = 2*1 - 3 = - 1

a21 = 2*2 - 1 =    3    

a22 = 2*2 - 2 =  2

a23 = 2*2 - 3 =   1

a31 =  2*3 - 1  = 5

a32 = 2*3 - 2 = 4

a33 = 2*3 - 3 = 3

Matriz A = $\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\3&2&1\\5&4&3\end{array}\right]$

Matriz diagonal B = (bij)3 x 3 cujos elementos não nulos

são tais que bij = 3i - 2j.    

a11   = 3*1 - 2*1   = 1    ( 3 * número da linha – 2 * número da coluna )

a22 = 3*2 - 2*2 = 2

a33 = 3*3 - 2*3  = 3

Matriz B = $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right]$  

Matriz D =  $\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\3&2&1\\5&4&3\end{array}\right]$  - $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right]$ =  $\left[\begin{array}{ccc}0&0&-1\\3&0&1\\5&4&0\end{array}\right]$  

Para  calcular Det. de Matriz D usamos esta matriz ampliada para a direita

com repetição da primeira  e segunda colunas.

As diagonais com números a cheio representam cada uma das operações que se está fazer.

|  0   0  - 1  | 0   0

|  3   0    1  |  3   0

|  5   4    0 |  5   4

0 * 0 * 0

|  0   0  - 1  | 0   0

|  3   0    1  |  3   0

|  5   4    0 | 5   4

0 * 0 * 0  + 0 * 1 * 5

|  0   0  - 1  | 0    0

|  3   0    1  |  3    0

|  5   4    0 |  5    4

0 * 0 * 0  + 0 * 1 * 5 + ( - 1 ) * 3 * 4

|  0   0  - 1  | 0    0

|  3   0    1  |  3    0

| 5   4    0 |  5    4

0 * 0 * 0  + 0 * 1 * 5 + ( - 1 ) * 3 * 4 - ( - 1 * 0 * 5)

|  0   0  - 1  | 0    0

|  3   0   1 |  3    0

|  5   4   0 |  5    4

0 * 0 * 0  + 0 * 1 * 5 + ( - 1 ) * 3 * 4 - ( - 1 * 0 * 5) - ( 0 * 1  * 4 )

|  0   0  - 1  | 0   0

|  3   0    1  |  3   0

|  5   4   0 |  5    4

Det = 0 * 0 * 0  + 0 * 1 * 5 + ( - 1 ) * 3 * 4 - ( - 1 * 0 * 5) - ( 0 * 1  * 4 ) - ( 0 * 3 * 0 )

= 0 + 0 - 12 + 0 + 0 + 0

Det Matriz D = - 12

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Sinais: ( * ) multiplicar  

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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.