Question

Considere uma função f diferençável tal que f′(x) ≤ 2 para todo x, no domínio de f . Suponha que, f (3) = 5. Encontre o maior valor possível de f (7). Sugestão: Use o Teorema do Valor Médio.

Answer 1

Teorema do Valor Médio:

Considere uma função $f$ satisfazendo as condições:

1. $f$ é contínua no intervalo fechado [a, b]
2. $f$ é derivável no intervalo aberto (a, b)

Então, existe um número $c$ em (a, b), tal que:

$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Dados do problema:

$f'(x)\leq 2\ \forall\ x\in \mathbb{D}_f$

$f(3)=5$

Qual o valor máximo de $f(7)$?

Resolução:

$f'(x)\leq 2\Longrightarrow \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq 2\Longrightarrow \dfrac{f(7)-f(3)}{7-3}\leq2$

$\dfrac{f(7)-5}{4}\leq 2\Longrightarrow f(7)\leq 2(4)+5\ \therefore\ \boxed{f(7)\leq13}$

O valor máximo para $f(7)$ é 13.