Question

Considere uma função afim que passe nos pontos (1,0) e (0,-1), é possível afirmar que a função f que possui essa característica é dada por :

A) f(x) = x

B) f(x) = x - 2

C) f(x) = x + 1

D) f(x) = x - 1

E) f(x) = 2x + 1

Answer 1

Olá!

Esse tipo de problema pode ser resolvido analisando as características do gráfico.

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Encontrando a equação da reta:

O gráfico de uma função linear (afim; do primeiro grau) é essencialmente uma reta (linha infinita).

A equação reduzida de uma reta tem a forma:

$y = \color{Purple} m \color{Black} x + \color{Green} b$

Onde $\color{Purple} m$ é o coeficiente angular (variação da função para cada unidade da entrada) e $\color{Green} b$ é o coeficiente linear (ordenada y do ponto no qual o gráfico intercepta o eixo $Oy$).

Para encontrar $\color{Purple} m$, precisamos encontrar a variação da função por unidade de entrada. Para isso, dividimos o quanto a função varia ( $\color{Red} \Delta y$) pela variação da entrada ( $\color{Orange} \Delta x$). A variação é definida como:

$\color{Red} \Delta y \color{Black} = \color{Blue} y \color{Black} - \color{Orange} y_0$

$\color{Orange} \Delta x \color{Black} = \color{Blue} x \color{Black} - \color{Red} x_0$

Logo,

$\color{Purple} m \color{Black} = \frac{\color{Red} \Delta y}{\color{Orange} \Delta x}$

$\color{Purple} m \color{Black} = \frac{\color{Blue} y \color{Black} - \color{Orange} y_0}{\color{Blue} x \color{Black} - \color{Red} x_0}$

Agora precisamos de dois pontos pertencentes a reta. Podemos usar os pontos dados no enunciado.

$(\color{Red} x_0 \color{Black}, \, \color{Orange} y_0 \color{Black}) = (\color{Red} 0 \color{Black}, \, \color{Orange} -1 \color{Black})$

$(\color{Blue} x \color{Black}, \, \color{Blue} y \color{Black}) = (\color{Blue} 1 \color{Black}, \, \color{Blue} 0 \color{Black})$

Assim:

$\color{Purple} m \color{Black} = \frac{\color{Blue} y \color{Black} - \color{Orange} y_0}{\color{Blue} x \color{Black} - \color{Red} x_0}$

$\color{Purple} m \color{Black} = \frac{\color{Blue} 0 \color{Black} - \color{Orange} (-1)}{\color{Blue} 1 \color{Black} - \color{Red} 0}$

$\color{Purple} m \color{Black} = \frac{\color{Blue} 0 \color{Black} + \color{Orange} 1}{\color{Blue} 1 \color{Black} - \color{Red} 0}$

$\color{Purple} m \color{Black} = \frac{1}{1}$

$\fbox{\fbox{ \color{Purple} m \color{Black} = 1 }}$

Portanto, nossa função ficou:

$y = \color{Purple} m \color{Black} x + \color{Green} b$

$y = \color{Purple} 1 \color{Black} x + \color{Green} b$

$\fbox{\fbox{ y = x + \color{Green} b }}$

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Para calcular $\color{Green} b$, apenas calculamos $y$ quando $\color{Red} x \color{Black} = 0$. Sabemos que $y = -1$ nesse ponto, dado que o enunciado afirma que $(0, \, -1)$ pertence a reta.

$y = x + \color{Green} b$

$-1 = \color{Orange} (0) \color{Black} + \color{Green} b$

$-1 = \color{Green} b$

Logo,

$\fbox{\fbox{ \color{Green} b \color{Black} = -1 }}$

Com isso, nossa equação é:

$\fbox{\fbox{ y = x \color{Green} - 1 }}$

Alternativa D.

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Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)