Question

Considere uma estrela de nêutrons com massa igual à do Sol (1,99 × 10x^30 kg ), raio de 10 km e período de rotação de 1,0 s.

(a) Qual é o valor da velocidade de um ponto no equador da estrela de nêutrons?

(b) Determine o valor da aceleração da gravidade na superfície da estrela de nêutrons.

(c) Determine a diferença entre a aceleração de queda livre e a aceleração da gravidade no equador da estrela de nêutrons.

(d) Suponha que um objeto seja lançado verticalmente para cima na superfície da estrela de nêutrons. Calcule o valor da velocidade mínima que o objeto deve ter para escapar da estrela de nêutrons.

Answer 1

⠀

⠀⠀☞ Para esta estrela de nêutrons temos a) 62.800 m/s de velocidade no equador; b) 1,3 × 10¹² m/s² de aceleração da gravidade na superfície; c) uma divisão por (10⁴ + h)² ao invés de somente (10⁴)² para a aceleração de queda livre; d) 2,654 × 10¹⁶ m/s de velocidade de escape para um lançamento vertical.  ✅

⠀

⠀

(a) Qual é o valor...

⠀

⠀⠀Lembremos que a equação para o perímetro de uma circunferência é 2 × π × r, ou seja, o perímetro do equador desta estrela é de:

⠀

$\LARGE\blue{\sf P = 2 \cdot 3,14 \cdot 10.000}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf P = 62.800~m}$

⠀

⠀⠀Cientes de que o período de rotação da estrela é de 1 segundo, então temos que um ponto no equador dela percorrerá 62.800 metros por segundo.

⠀

⠀

$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{V}~\pink{=}~\blue{ 62.800~[m/s] }~~~}}$ ✅

⠀

⠀

(b) Determine o valor...

⠀

⠀⠀Pela relação da força de atração gravitacional (F) entre dois corpos (de massa M e m) e a força peso (P) de um corpo de massa m encontramos que:

⠀

$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf F = P}&\\&&\\&\orange{\sf G \cdot \dfrac{M \cdot \diagup\!\!\!\!{m}}{d^2} = \diagup\!\!\!\!{m} \cdot a_g}&\\&&\\&\orange{\sf G \cdot \dfrac{M}{d^2} =  a_g}&\\&&\\\end{array}}}}}$

⠀

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf G }}$ sendo a constante da gravitação universal que vale 6,67 × 10⁻¹¹ [m³ / (kg × s²)];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf m }}$ sendo a massa do corpo 1 [Kg];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf M }}$ sendo a massa do corpo 2 [Kg];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf d }}$ sendo a distância entre os dois centros de massa dos corpos 1 e 2 [m];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a_g }}$ sendo a aceleração da gravidade causada pelo corpo 2 a uma distância d.

⠀

⠀⠀Assumindo que na superfície do planeta d ≈ raio da estrela então:

⠀

$\Large\blue{\text{ \sf a_g = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \dfrac{1,99 \cdot 10^{30}}{(10^4)^2} }}$

⠀

⠀

$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{a_g}~\pink{\approx}~\blue{ 1,3 \cdot 10^{12}~[m/s^2] }~~~}}$ ✅

⠀

⠀

(c) Determine a diferença...

⠀

⠀⠀Assumindo que a altura de queda livre do corpo será h então:

⠀

$\blue{\sf a_q = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,99 \cdot 10^{30} \cdot \dfrac{1}{(10^4 + h)^2}}$

⠀

$\blue{\text{ \sf a_q = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,99 \cdot 10^{30} \cdot \dfrac{1}{(10^4 + h)^2} \cdot \dfrac{10^{-8}}{10^{-8}} }}$

⠀

$\blue{\text{ \sf a_q = \overbrace{\sf 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,99 \cdot 10^{30} \cdot 10^{-8}}^{a_g} \cdot \dfrac{1}{10^{-8} \cdot (10^4 + h)^2} }}$

⠀

$\Large\blue{\text{ \sf a_q = 1,3 \cdot 10^{12} \cdot \dfrac{1}{10^{-8} \cdot (10^4 + h)^2} }}$

⠀

⠀

$\green{\boxed{\rm~~~\gray{a_q - a_g}~\pink{=}~\blue{1,3 \cdot 10^{12} \cdot \left(\dfrac{10^8}{(10^4 + h)^2} - 1 \right)}~~~}}$ ✅

⠀

⠀

(d) Suponha que...

⠀

⠀⠀Pela lei da conservação da energia mecânica temos que:

⠀

$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf E_{mec_i} = E_{mec_f}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

⠀

⠀⠀A velocidade mínima para que um corpo escape totalmente do campo gravitacional de um outro corpo é tal que ao escapar sua velocidade seja igual à zero e para escapar sua distância até o outro corpo deve ser infinita:

⠀

$\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf E_{pot_i} + E_{cin_i} = E_{pot_{\infty}} + E_{cin_{\infty}}}&\\&&\\&\orange{\sf -\dfrac{G \cdot \diagup\!\!\!\!{m} \cdot M}{R} + \dfrac{\diagup\!\!\!\!{m} \cdot v^2}{2} = -\dfrac{G \cdot \diagup\!\!\!\!{m} \cdot M}{\infty} + \dfrac{\diagup\!\!\!\!{m} \cdot 0^2}{2}}&\\&&\\&\orange{\sf -\dfrac{G \cdot M}{R} + \dfrac{v^2}{2} = -0 + 0}&\\&&\\&\orange{\sf V_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot G \cdot M}{R}}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

⠀

$\large\blue{\text{ \sf V_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,99 \cdot 10^{30}}{10^4}} }}$

⠀

$\LARGE\blue{\text{ \sf V_e = \sqrt{2,654 \cdot 10^{16}} }}$

⠀

⠀

$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{V_e}~\pink{\approx}~\blue{ 1,63 \cdot 10^{8}~[m/s] }~~~}}$ ✅

⠀

⠀

⠀

⠀

$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre aceleração da gravidade:

⠀

✈ https://brainly.com.br/tarefa/38368030

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

⠀

⠀

⠀

⠀

$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

⠀

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

⠀

⠀

⠀

⠀

$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$