Question

Considere uma espiral construída por 15 segmentos de reta. O comprimento de cada segmento é 70% do comprimento do segmento anterior. O maior segmento mede 12cm. O comprimento C de toda espiral, em cm pode ser determinado por:

A)C =40 [(0,7)^15+1]
B)C =-40 [(0,7)^15-1]
C)C =-40 [(0,7)^14-1]
D)C =-20 [(0,7)^14-1]
E)C =20 [(0,7)^14-1]

Answer 1

A espiral tem comprimento de 40,19 cm, a expressão correta da série de potências é A) $C=40(1+0,7^{15})$

Como se calcular a soma da série de potências?

Se o comprimento de cada segmento é 70% do comprimento do segmento anterior, o comprimento de cada um dos segmentos segue uma progressão geométrica, em que, contando desde o segmento maior, o comprimento de cada segmento é:

$l_n=l_0.0,7^n$

Os 15 segmentos são enumerados desde 0 até 14. O comprimento total da espiral é uma série de potências cuja expressão genérica é:

$S=l_0.\sum^{14}_{i=0}0,7^i=l_0(1+0,7+0,7^2+0,7^3+...+0,7^{14})$

Podemos multiplicar por 0,7 em ambos membros para obter uma nova expressão para a soma:

$0,7S=l_0(0,7+0,7^2+0,7^3+...+0,7^{15})$

Subtraindo membro por membro esta expressão{ao e a anterior tem-se:

$S=l_0(1+0,7+0,7^2+0,7^3+...+0,7^{14})\\0,7S=l_0(0,7+0,7^2+0,7^3+...+0,7^{15})\\\\S-0,7.S=l_0(1+0,7^{15})\\\\S(1-0,7)=l_0(1+0,7^{15})\\\\S=l_0\frac{1+0,7^{15}}{1-0,7}=12cm\frac{1+0,7^{15}}{1-0,7}=40cm(1+0,7^{15})\\\\S=40,19cm$

Saiba mais sobre as séries de potências em https://brainly.com.br/tarefa/4551643

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