Question

Considere uma esfera de raio 2cm inscrita em
um cone circular reto. Sabendo-se que os pontos
de tangência da esfera com a superfície cônica
formam um círculo de área 2πcm2
, pode-se
armar que o raio da base do cone mede

Answer 1

Pela situação descrita no enunciado, formei a seguinte figura que segue em anexo.

O que vamos calcular é a medida R (o raio do cone) indicada na figura.

Calculamos a medida r, que é o raio do círculo de área 2π.

A = π·r²

2π = π·r²

r² = 2 ⇒ r = √2 cm

Temos o triângulo retângulo DEF, formado pelo raio da esfera (2 cm) e pelo raio da circunferência (√2 cm).

Então, nesse triângulo, temos o cateto adjacente (2) e a hipotenusa (√2). Logo, podemos achar a medida de θ pela relação cosseno.

cos θ = √2/2

θ = 45°

Assim, a medida do ângulo A também é 45°, assim como a medida do ângulo B.

Portanto, o triângulo ABC é isósceles, com AB = BC.

Com isso, o raio do cone é igual a altura do cone (h = R).

Então, basta calcularmos essa altura.

Vamos calcular a medida do segmentos DE e AE.

tg 45° = x/√2

1 = x√2

x = √2 ⇒ DE = √2 cm

tg 45° = √2/y

1 = √2/y

y = √2 ⇒ AE = √2 cm

A altura do cone é a soma dos segmentos:

h = AE + DE + BD

h = √2 + √2 + 2

h = 2√2 + 2

h = 2(√2 + 1)

Portanto, R = 2(√2 + 1).

Alternativa B.