Considere uma esfera de raio 2cm inscrita em
um cone circular reto. Sabendo-se que os pontos
de tangência da esfera com a superfície cônica
formam um círculo de área 2πcm2
, pode-se
armar que o raio da base do cone mede
Soluções para a tarefa
Pela situação descrita no enunciado, formei a seguinte figura que segue em anexo.
O que vamos calcular é a medida R (o raio do cone) indicada na figura.
Calculamos a medida r, que é o raio do círculo de área 2π.
A = π·r²
2π = π·r²
r² = 2 ⇒ r = √2 cm
Temos o triângulo retângulo DEF, formado pelo raio da esfera (2 cm) e pelo raio da circunferência (√2 cm).
Então, nesse triângulo, temos o cateto adjacente (2) e a hipotenusa (√2). Logo, podemos achar a medida de θ pela relação cosseno.
cos θ = √2/2
θ = 45°
Assim, a medida do ângulo A também é 45°, assim como a medida do ângulo B.
Portanto, o triângulo ABC é isósceles, com AB = BC.
Com isso, o raio do cone é igual a altura do cone (h = R).
Então, basta calcularmos essa altura.
Vamos calcular a medida do segmentos DE e AE.
tg 45° = x/√2
1 = x√2
x = √2 ⇒ DE = √2 cm
tg 45° = √2/y
1 = √2/y
y = √2 ⇒ AE = √2 cm
A altura do cone é a soma dos segmentos:
h = AE + DE + BD
h = √2 + √2 + 2
h = 2√2 + 2
h = 2(√2 + 1)
Portanto, R = 2(√2 + 1).
Alternativa B.