Question

Considere uma  colônia  de  bactérias, na qual, a cada meia hora o número de  bactérias dobra. Se inicialmente havia 500 bactérias , após quanto tempo haverá 500.000 bactérias, aproximadamente? Considere log 2 = 0,3.

Answer 1

Olá, Marina !

Pelo enunciado, a cada meia hora o número de bactérias dobra e inicialmente havia $500$ bactérias.

Assim, daqui meia hora haverá $500\times2=1~000$ bactérias e daqui uma hora $500\times2^{2}=2~000$ bactérias.

Deste modo, notamos que, após a $n-$ésima meia hora, haverá $500\cdot2^{n}$ bactérias na colônia.

Queremos descobrir após quanto tempo haverá $500~000$ bactérias.

Isto é, o valor de $n$ de modo que, $500\cdot2^{n}=500~000$.

Temos:

$500\cdot2^{n}=500~000$

Dividindo os dois lados por $500$:

$\dfrac{500\cdot2^{n}}{500}=\dfrac{500~000}{500}~~\Rightarrow~~2^{n}=1~000$

Veja que $1~000=2^3\times5^3$, vamos dividir os dois lados por $2^3$:

$\dfrac{2^{n}}{2^3}=\dfrac{1~000}{2^3}~~\Rightarrow~~2^{n-3}=5^3$.

Seja $m=n-3$, assim: $2^{m}=5^3$.

Logo, $m=\dfrac{3\cdot\text{log}(5)}{\text{log}(2)}$ e, portanto,

$n=3+\dfrac{3\cdot\text{log}(5)}{\text{log}(2)}\approx9,96$.

Assim, aproximadamente, após a $9,96^{a}$ meia hora haverá $500~000$ bactérias na colônia.

Aproximadamente, $4$ horas, $58$ minutos e $58$ segundos.

Espero ter ajudado, até mais ^^