Question

considere uma circunferência de raio r e l a medida do lado de um decagono regular inscrito nessa circunferência. Determine l em função de r. (a=360graus /n)

Answer 1

A medida l em função de r é l = (√5 - 1).r/2.

Um decágono possui 10 lados. Sendo assim, o ângulo central é igual a:

a = 360/10

a = 36º.

Perceba, na figura abaixo, que o triângulo AOB é isósceles. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então:

36 + t + s + a = 180

t + s + a = 144º

Como t + s = a, então:

a + a = 144

2a = 144

a = 72º = t + s.

Sendo BC a bissetriz do ângulo B, obtemos t = s = 36º.

O triângulo OBS também é isósceles, com OC = BC.

No triângulo ABC, temos que b = 72º. Ele também é isósceles, ou seja, AB = BC = OC = l.

Utilizando o Teorema da Bissetriz Interna:

OC/OB = AC/AB

l/r = (r - l)/l

l² = r² - rl

l = (√5 - 1).r/2.