Question

Considere uma circunferência de raio 0,25, cujo centro (da mesma) desliza sobre o gráfico da função f(x)= 5^x, x E R. sabendo-se que o inicio do deslizamento se deu a partir do ponto do plano de coordenadas (0,1), no sentido negativo do eixo das abscissas 0x, e o termino desse deslizamento se deu quando a circunferencia tocou o eixo 0x pela primeira vez em um ponto T, pode-se afirmar que a distancia T ao eixo das ordenadas é igual a:

Answer 1

Veja arquivo com ilustração em anexo.


Supondo $T\geq 0$ e sabendo que a circunferência corre no sentido negativo ao eixo $Ox,$ temos que

a circunferência toca o eixo horizontal $Ox$ no ponto $x=-T;$

o centro da circunferência pertence ao gráfico da função $f(x)=5^{x};$

a distância entre o centro da circunferência e o eixo $Ox$ é igual a $0,25$ (raio da circunferência). Esta distância é exatamente o valor que a função $f$ assume, quando $x=-T.$


Sendo assim, devemos ter

$f(-T)=0,25\\ \\ 5^{-T}=0,25\\ \\ 5^{-T}=\dfrac{1}{4}\\ \\ 5^{-T}=\dfrac{1}{2^{2}}\\ \\ 5^{-T}=2^{-2}$


Aplicando o logaritmo de base $10$ aos dois lados, temos

$\mathrm{\ell og\,}(5^{-T})=\mathrm{\ell og\,}(2^{-2})\\ \\ -T\,\mathrm{\ell og\,}5=-2\,\mathrm{\ell og\,}2\\ \\ T=\dfrac{2\,\mathrm{\ell og\,}2}{\mathrm{\ell og\,}5}$


Consultando uma calculadora científica, planilha ou tabela de logaritmos, obtemos os valores aproximados:

$\mathrm{\ell og\,}2=0,301\\ \\ \mathrm{\ell og\,}5=0,699$


Substituindo, chegamos a

$T=\dfrac{2\cdot 0,301}{0,699}\\ \\ \\ T=\dfrac{0,602}{0,699}\\ \\ \\ T=0,861\text{ u.c.}\;\;\text{ (aproximadamente)}$