Question

Considere uma circunferência de equação x2 + y2 – 8x – 8y + k = 0 e cujo raio mede 4. Pede-se: a) A equação reduzida dessa circunferência; b) O valor de k; c) A equação reduzida da reta r que passa pelo ponto A(6, 2) e pelo centro da circunferência; d) As coordenadas dos pontos P e Q, de interseção da reta r com a circunferência; e) O comprimento da corda PQ.

Answer 1

Para encontrar a equação reduzida da circunferência precisamos completar quadrados. Para isso somaremos 16 aos dois lados da equação, isso é o mesmo que somar zero, o que não altera nosso problema. Sendo assim e sabendo que o raio é 4, podemos dizer que k é o valor que "conserta" nossa equação.

x² + y² - 8x - 8y + k = 0

x² - 8x + 16 + y² - 8y + 16 + k = 16 + 16

(x - 4)² + (y - 4)² + k = 32

(x - 4)² + (y - 4)² = 32 - k

Sabemos que 32 - k = raio da circunferência ao quadrado (4² = 16)

32 - k = 16

k = 16.

a) (x - 4)² + (y - 4)² = 4²

b) k = 16

c) Podemos encontrar a equação calculando o seu coeficiente angular e depois utilizando um de seus pontos na forma geral.

$m = \dfrac{2-4}{6-2} = -\dfrac24 = -\dfrac12$

$y-2 = -\dfrac12 \cdot (x-6)\\y = -\dfrac{x}{2} + 3$

d) Para achar as intersecções da reta com a circunferência temos que igualar as duas equações e encontrar as raízes. As soluçoes P e Q serão:

$P = \left( \dfrac{14}{5} - \dfrac{4 \sqrt{11}}{5}, \dfrac85 + \dfrac{2 \sqrt{11}}{5} \right)\\\\\\Q = \left( \dfrac{14}{5} + \dfrac{4 \sqrt{11}}{5}, \dfrac85 - \dfrac{2 \sqrt{11}}{5} \right)$

e) Para encontrar o comprimento de PQ temos que fazer a distância entre os pontos encontrados acima.

$D_{PQ} = \sqrt{(x_p -x_q)^2 + (y_p - y_q)^2}\\\\\\D_{PQ} = \sqrt{(-\dfrac{8\sqrt{11}}{5})^2 + (-\dfrac{4\sqrt{11}}{5})^2}\\\\\\D_{PQ} = \sqrt{ \dfrac{64.11}{25} + \dfrac{16.11}{25}}\\\\\\D_{PQ} = \sqrt{ \dfrac{80.11}{25}}\\\\\\D_{PQ} = \dfrac{4\sqrt{55}}{5}$

Aprenda mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/25761593

https://brainly.com.br/tarefa/25897458