Question

Considere uma circunferência de diâmetro L e centro C, conforme figura. Calcule a razão entre a área do círculo e a área da região sombreada em função de π. ME AJUDEMMMMM PFVVVVVvvvvvv!!!! preciso MT !!

Answer 1

Fazendo os devidos calculos de área e razão temos assim nossa resposta correta é Letra a).

$R=\frac{4\pi}{\pi-2}$

Explicação passo-a-passo:

Para resolvermos este problema vamos pegar a área de 1/4 da circunferÊncia e substrair dela a área do triangulo, assim só sobrará somente a área da figura, então vamos por partes:

Área da circunferência:

A área é dada pela seguinte formula:

$Ac=\pi R^2$

E como o diametro da circunferência é L, então o raio é L/2:

$Ac=\pi (\frac{L}{2})^2$

$Ac=\frac{L^2\pi}{4}$

Então temos a área da circunferência, mas só queremos um quarto desta área:

$Ac=\frac{1}{4}\frac{L^2\pi}{4}$

$Ac=\frac{L^2\pi}{16}$

Então vamos guardar este resultado e ir para a proxima etapa:

Área do triangulo retangulo:

A área de um triangulo é dada por base vezes altura sobre 2, e como neste triangulo tanto a base quanto a altura são iguais e equivalem ao raio, então sua área é:

$At=\frac{\frac{L}{2}.\frac{L}{2}}{2}$

$At=\frac{\frac{L^2}{4}}{2}$

$At=\frac{L^2}{8}$

Agora temos as duas área, então vamos subtrair a área do triangulo da área de um quarto da circunferência:

$A=\frac{L^2\pi}{16}-\frac{L^2}{8}$

$A=\frac{L^2\pi}{16}-\frac{2L^2}{16}$

$A=\frac{L^2\pi-2L^2}{16}$

$A=\frac{L^2(\pi-2)}{16}$

Então esta é a área da região sombreada, e como a questão pede a razão da área do circulo pela razão desta área:

$R=\frac{\frac{L^2\pi}{4}}{\frac{L^2(\pi-2)}{16}}$

$R=\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{(\pi-2)}{16}}$

$R=\frac{4\pi}{\pi-2}$

Assim nossa resposta correta é Letra a).