Question

Considere uma carga puntiforme positiva de 1,0µC que está circundada por uma esfera de raio igual a 1cm, centralizada. Determine o valor do fluxo elétrico produzido por essa carga na esfera

Answer 1

Com os cálculos feitos concluímos que o fluxo elétrico produzido por essa carga na esfera é de $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \phi_E = 112\: 994,3\: N \cdot m^2 /C }$

A lei de Gauss relaciona os campos elétricos em pontos sobre uma superfície fechada com a carga resultante que é envolvida por essa superfície.

O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam por uma dada superfície. ( Vide a figura em anexo )

A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada A com a carga elétrica qin dentro da superfície.

Matematicamente, a lei de Gauss é representada pela equação:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text { \sf \phi_E = \oint_A \overrightarrow{\sf E} \cdot d\overrightarrow{\sf A} = \dfrac{q_{int}}{\epsilon_0} }}}$

( Vide a figura em anexo ).

O  campo elétrico a uma distância r é dado pela Lei de Coulomb. O fluxo $\large \textstyle \sf \sf \phi_E$ através de uma superfície Gaussiana esférica de raio r e centro na carga. Por simetria$\textstyle \sf \sf \overrightarrow{\sf E}$ é paralelo a $\textstyle \sf \sf d\overrightarrow{\sf A}$, e temos:

$\large \displaystyle \sf \sf \phi_E = \oint_A \overrightarrow{\sf E} \cdot d\overrightarrow{\sf A}$

$\large \displaystyle \sf \sf \phi_E = \oint_A E\cdot dA \cdot \cos{\theta}$

$\large \displaystyle \sf \sf \phi_E = E \cdot \oint_A dA$

$\large \displaystyle \sf \sf \phi_E = E \cdot A$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \phi_E = \left( \dfrac{d}{ \diagup\!\!\!{ 4} \diagup\!\!\!{ \pi} \epsilon_0 \diagup\!\!\!{ r^2}} \right) \cdot ( \diagup\!\!\!{ 4} \diagup\!\!\!{ \pi} \epsilon_0 \diagup\!\!\!{ r^2} ) }$

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf \phi_E = \dfrac{q}{\epsilon_0} }} \quad \gets \large \text {\sf Lei de Gauss }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases}\sf q_{int} = 1,0\; \mu C = 1,0 \cdot 10^{-6} \: C\\\sf r = 1,0 cm \div 100 = 0,01\; m \\\sf \phi_E = \:?\:N/m^2 \\ \sf \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \: C^2 / N \cdot m^2 = Vm \end{cases}$

Usando a Lei de Gauss, temos:

$\large \displaystyle \sf \sf \phi_E = \dfrac{q}{\epsilon_0}$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf \phi_E = \dfrac{1 \cdot 10^{-6} }{8,85\cdot 10^{-12} } }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \phi_E = 112\: 994,3\: N \cdot m^2/C }} }$

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