Question

Considere um triângulo retângulo de catetos iguais de (x – 3) cm.
a) Escreva uma expressão que represente o quadrado da hipotenusa do triângulo.
b) Escreva uma expressão que represente a área do triângulo.
c) Se x = 4 cm, qual seria o perímetro do triângulo?​

Answer 1

Soluções

a) O quadrado da hipotenusa pode ser representado pela expressão $2x^2-12x+18$ cm.

b) A área do triângulo pode ser representada pela expressão $\frac{x^2-6x+9}{2}$ cm².

c) Se $x=4$ cm, o perímetro do triângulo seria $2+\sqrt{2}$ cm.

Resolução detalhada

a) Seja $a$ a hipotenusa do triângulo, $b$ e $c$ seus catetos. Sabemos que os catetos têm medidas iguais: logo, podemos igualá-los a um determinado valor $m$. Então, temos que $m=(x-3)cm$.

Podemos solucionar o item a através de três maneiras diferentes: pelo Teorema de Pitágoras; pela diagonal de um quadrado; e pela Lei dos Senos.

1ª maneira: Teorema de Pitágoras

No nosso caso, o Teorema de Pitágoras apresenta-se da seguinte forma:

$a^2=b^2+c^2$

Mas como $b=c=m$:

$a^2=m^2+m^2\\ a^2=2m^2$

Já que $m=(x-3)cm$, podemos, assim, achar uma expressão que possa representar o quadrado da hipotenusa. Ao desenvolvermos:

$a^2=2m^2\\a^2=2(x-3)^2 cm\\a^2=2(x^2-6x+9) cm\\a^2=2x^2-12x+18 cm$

2ª maneira: diagonal de um quadrado

Já sabemos que os catetos desse triângulo são iguais e que o triângulo possui um ângulo reto. E já que os lados de um quadrado são iguais, podemos dizer que os catetos são lados de um quadrado e a hipotenusa sua diagonal. Para calcular a diagonal de um quadrado (que, no caso, seria a hipotenusa), podemos usar a expressão $l\sqrt{2}$, em que $l$ é o lado do quadrado. O lado seria $m$. Temos: $a=l\sqrt{2} =m\sqrt{2}=(x-3)\sqrt{2}cm$.

Para calcularmos o quadrado da hipotenusa, vamos elevar os dois membros.

$a=(x-3)\sqrt{2}cm\\a^2=(x-3)^2(\sqrt{2})^2cm\\a^2=2(x^2-6x+9)cm\\a^2=2x^2-12x+18 cm$

3ª maneira: Lei dos senos

A Lei dos senos permite-nos relacionar ângulos e lados de qualquer triângulo. Ela diz que os lados de qualquer triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles. Pode ser representada pela expressão $\frac{a}{sen\alpha} =\frac{b}{sen\beta} =\frac{c}{sen\gamma}$, em que $\alpha$ é o ângulo oposto ao lado $a$, $\beta$ é o ângulo oposto ao lado $b$, e $\gamma$ é o ângulo oposto ao lado $c$.

Já que os catetos são iguais, temos um triângulo retângulo isósceles. E se o triângulo é isósceles, significa que possui dois ângulos congruentes. Chamemos o ângulo oposto à hipotenusa de $\alpha$, o ângulo oposto ao lado $b$ de $\beta$, e o ângulo oposto ao lado $c$ de $\gamma$. Também sabemos que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é 180º. Então conseguimos calcular quanto vale

$\alpha +\beta +\gamma=180$º

$90$º$+2\theta=180$º

$2\theta=90$º

$\theta=45$º

De acordo com a lei dos senos: $\frac{a}{sen\alpha} =\frac{b}{sen\beta} =\frac{c}{sen\gamma}$. Mas já que $\frac{b}{sen\beta} =\frac{m}{sen45}$ e $\frac{c}{sen\gamma} =\frac{m}{sen45}$, temos que $\frac{b}{sen\beta} =\frac{c}{sen\gamma} =\frac{m}{sen45}$. E $\frac{a}{sen\alpha } =\frac{a}{sen90} =\frac{a}{1}=a$. Ao desenvolvermos o cálculo:

$\frac{a}{sen\alpha} =\frac{m}{sen45} \\\frac{a}{sen90} =\frac{m}{\frac{\sqrt{2} }{2} } \\a=m \frac{2}{\sqrt{2} }\\a=(x-3)\frac{2}{\sqrt{2} }cm$

Elevando $a$ ao quadrado e $\frac{2(x-3)}{\sqrt{2} }$ ao quadrado, temos:

$a^2=(x-3)^2 (\frac{2}{\sqrt{2} })^2cm\\a^2=\frac{4(x^2-6x+9)}{2}cm\\a^2=2(x^2-6x+9)cm\\a^2=2x^2-12x+18cm$

b) A área de um triângulo pode ser dada pela fórmula $\frac{b.h}{2}$, em que $b$ é a base do triângulo e $h$ sua altura. No caso, $b=(x-3) cm$  e $h=(x-3)cm$ . Chamemos a área do triângulo de $A$. Substituindo:

$A=\frac{b.h}{2} \\A=\frac{(x-3)(x-3)}{2}cm^2\\A=\frac{(x-3)^2}{2}cm^2\\A=\frac{x^2-6x+9}{2} cm^2$

c) Chamemos de $P$ o perímetro. O perímetro seria a soma de todos os lados, ou seja, os catetos $b$ e $c$ somados com a hipotenusa $a$. Logo, temos que $P=a+b+c$. Mas já vimos que $b=c=m$. Logo:  $P=2m+a$.

Já que $x=4$ cm, podemos encontrar o valor da hipotenusa substituindo $x$ na expressão que já vimos no item a.

$a^2=2x^2-12x+18cm\\a^2=2(4)^2-12(4)+18cm\\a^2=32-48+18cm\\a^2=2cm\\a=\sqrt{2}cm$

Já que cada cateto vale $m=(x-3)cm$, temos que:

$m=(4-3)cm\\m=1cm$  

Substituindo $m$ e $a$ em $P=2m+a$, conseguimos obter o valor do perímetro.

$P=2m+a\\P=2(1)+\sqrt{2}cm\\P=2+\sqrt{2}cm$

Espero ter ajudado.