Question

Considere um triângulo retângulo cuja área seja igual a 60m² e cuja a hipotenusa seja igual a 17m. a) Monte um sistema de equações que represente algebricamente o perímetro e a área dessa região triangular. b) Calcule o perímetro desse triângulo resolvendo o sistema do item a.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) Sejam $b$ e $c$ os catetos desse triângulo retângulo

Pelo Teorema de Pitágoras:

$b^2+c^2=17^2$

$b^2+c^2=289$

Como a área é $60~\text{m}^2$, então:

$\dfrac{b\cdot c}{2}=60$

$b\cdot c=2\cdot 60$

$b\cdot c=120$

Temos que:

$(b+c)^2=b^2+2\cdot b\cdot c+c^2$

$(b+c)^2=b^2+c^2+2\cdot b\cdot c$

$(b+c)^2=289+2\cdot120$

$(b+c)^2=289+240$

$(b+c)^2=529$

$b+c=\sqrt{529}$

$b+c=23$

Podemos montar o sistema:

$\begin{cases} b+c=23 \\ b\cdot c=120 \end{cases}$

b) Da primeira equação:

$b+c=23$

$b=23-c$

Substituindo na segunda equação:

$(23-c)\cdot c=120$

$23c-c^2=120$

$c^2-23c+120=0$

$\Delta=(-23)^2-4\cdot1\cdot120$

$\Delta=529-480$

$\Delta=49$

$c=\dfrac{-(-23)\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}=\dfrac{23\pm7}{2}$

$c'=\dfrac{23+7}{2}~\longrightarrow~c'=\dfrac{30}{2}~\longrightarrow~c'=15$

$c"=\dfrac{23-7}{2}~\longrightarrow~c"=\dfrac{16}{2}~\longrightarrow~c"=8$

• Para $c=15$:

$b=23-15$

$b'=8$

• Para $c=8$:

$b=23-8$

$b"=15$

Os catetos medem $8~\text{m}$ e $15~\text{m}$

Perímetro é a soma dos lados

O perímetro desse triângulo é:

$P=8+15+17$

$P=40~\text{m}$