Considere um triângulo isósceles situado no semiplano y≥0 e com base paralela ao eixo x. Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo, em torno do eixo x, é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada, na rotação, pelo baricentro do triângulo.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação:
Primeiro vamos imaginar metade do triângulo isósceles apoiado nos eixos x e y. Vamos imaginar que esse meio triângulo vai girar no eixo x. O sólido de revolução gerado pode ser imaginado como o somatório de circunferências de raio y e espessura dx. Podemos então escrever:
dV = π.y².dx
Temos agora que encontrar a relação entre y e x para poder fazer esta integração.
Trata-se de uma reta de equação: y = yo - (yo/xo).x
V = ∫π.[yo-(yo/xo).x]².dx (integrando entre 0 e xo)
Na verdade, como dividimos o triangulo em 2, podemos multiplicar esta equação por 2 para ter o sólido completo gerado pela rotação do triangulo completo. Assim:
V = 2.π∫[yo-(yo/xo).x]².dx (entre 0 e xo)
V= 2.π.∫[yo² - 2.(yo²/xo).x + (yo²/xo²).x²]dx
V = 2.π.[yo².x - (yo²/xo).x² + (yo²/xo²).x³/3] (entre 0 e xo)
V = 2.π.(yo².xo - yo².xo + yo².xo/3)
V = 2.π.yo².xo/3
Repare que yo.xo = A (área do triângulo)
V = A.2.π.yo/3
Repare que yo/3 é justamente a coordenada do baricentro do triângulo isosceles.
Logo, o volume de revolução é o produto da área pelo comprimento de rotação do baricentro.
ou seja: A.2.π.r (onde r = coordenada do baricentro)