Question

Considere um triangulo equilátero circunscrito a uma circunferência de raio r. Quanto mede o lado do triângulo?

Answer 1

1) Quando hexágono está inscrito numa circunferência, os vértices dele estão em cima do circulo, ou seja, o raio representa a distancia do vértice até o centro do hexágono. Visto que se ligarmos os vértices do hexágono ao centro da circunferência (sendo o mesmo do polígono), verificamos que é um triângulo equilátero, então podemos afirmar: Raio = medida do lado do triângulo como a altura de um triângulo equilátero é dado por: L√3/2 (L=lado do triângulo equilátero) como apótema = altura do triangulo equilátero, então 4√3/2 -> 2√3 
2)Como o quadrado está inscrito na circunferência, ou seja, seus vértices tangenciam a circunferência, então podemos dizer: Diagonal do quadrado = Diâmetro (D) então, como (D) = 2 x R (Raio) então, 2 x 12 = 24 
podemos aplicar Pitágoras: 
24² = a² x a² (sendo o a= lateral do quadrado) 576=2a² -> a²=288 -> √288 -> (fatorando) -> √2² x 2² x 2 x 3³ -> 12√2 então: centro da circunferência = centro do quadrado 
Sendo um dos lados desse triangulo = Raio o outro sendo a metade do lado do triangulo, ou seja, 12√2/2 ->6√2 podemos aplicar Pitágoras novamente: R² = A² + L² -> 12² = A² + (6√2)² 144= A² + (36 x 2) -> A² = 144 - 72 -> A = √72 -> (fatorando) -> √ 2² x 2 x 3³ 
Resposta: 6√2 (triangulo equilátero se formou) 
3) Creio que falta informações, seria um triangulo equilátero? De qualquer forma, vamos resolver (caso seja equilátero): Formula para achar o lado de um triangulo equilátero inscrito na circunferência: R=L√3/3 ->(R-raio e L-lado) 8=L√3/3 -> resolvendo, temos: L = 8√3 aplicando Pitágoras para achar o apótema: (R)² = A² + L² (observação: o L será a metade do lado 8√3/2 -> 4√3, como já havia explicado sobre o apótema, sempre ocorrerá isso) então: 8²= A² + (4√3)² -> 64 = A² + (16 x 3) -> 64 -48 = A² -> A = √16 -> A = 4 Resposta: Medida do lado 8√3 e do apótema 4 
4) Como o exercício forneceu o apótema do hexágono, ou seja, a altura de um dos triângulos equiláteros. 
Sen 60º = cateto oposto/hipotenusa -> Sen60º= 7√3/H (H - hipotenusa) Sen 60º =√3/2 - substituindo, temos: √3/2=7√3/H -> resolvendo -> H= 14 como H = Lado, e o exercício pede o perímetro = soma de todos os lados, então temos Resposta: 14+14+14 = 42cm 
5) Aplicando a mesma ideia do exercício 6. Apótema = altura do triangulo retângulo -> sen 60º = 2√2/H (lembrando que a medida da base desse triangulo retângulo é a metade do triangulo equilátero 4√2/2 -> 2√2) então, resolvendo-> √3/2=2√2/H teremos √3=4√2/H -> H=4√2/√3 -> racionalizando teremos: 4√6/3 temos o raio da circunferência: como a diagonal do quadrado = 2R então usaremos Pitágoras para achar seus lados : 2 x 4√6/3 = diâmetro -> (8√6/3)² = a² + a² -> 64 x 6 / 3 = 2a² -> 128 = 2a² -> 64 = a² -> a = √64 -> a=8 acharemos o apótema já que temos o lado do quadrado agora: (4√6/3)² = 4² + A² -> 16.6/3 = 16 + A² -> 32 - 16 =A² -> A = √16 -> A = 4 Resposta: Apótema do quadrado inscrito na circunferência é 4 cm 
6) Usando as formulas já citadas, poderemos resolver esse exercício "facilmente": 
então faremos assim: Sen 60º = 6/H ->√3/2 =6/H -> resolvendo teremos -> 4√3 achamos o raio da circunferência, então podemos achar o lado do triangulo equilátero agora: Em um triangulo (equilátero) inscrito numa circunferência o lado é dado por L = R√3, substituindo na formula temos: 4√3√3 -> 4 x 3 -> 12 cm Resposta: O lado do triangulo inscrito é 12cm 
7) "O circulo está dentro do quadrado". Nesse caso, a diagonal do quadrado é maior que o diâmetro da circunferência, então podemos dizer que o seu lado = diâmetro, sendo assim aplicaremos Pitágoras, lembrando que todos os lados do quadrado são iguais: a² + a² = 8² -> 2a² = 64 -> 64/2 = a² -> a = √32 -> fatorando -> √2² x 2² x 2 -> 4√2 então, achamos o diâmetro da circunferência, lembrando que o diâmetro é = 2 R (Raio), 4√2=2R -> R=4√2/2 -> Resposta: Raio é 2√2 cm 
8) A razão entre dois números, a grosso modo, poderíamos dizer que é dividi-los um pelo outro. O lado de um triangulo equilátero é dado por: L√3/2 {considerando que existem triângulos equiláteros no hexágono} E o lado de um triângulo inscrito na circunferência é dado por L= R√3 Então: como temos 6 arestas no hexágono, multiplicaremos a formula do lado de um triangulo equilátero por esse valor - > 6L√3/2 e dividiremos por R√3: resolvendo -> 6L√3/2/R√3 -> 6L√3/2 x 1/R√3 -> 3L/R como R = L√3/3 temos: 3L/L√3/3 -> 3L x 3/L√3 -> 9L/L√3 -> 9/√3 -> Racionalizando -> 9√3/3 ->3√3 Resposta: A razão entre os lados do Triangulo equilátero com o hexágono é 3√3.

Answer 2

Se o círculo está inscrito seu centro (incentro) decorre do encontro das bissetrizes  que num Δ equilátero também é o encontro das alturas e medianas respectivamente ortocentro e baricentro.
Considerando que o baricentro dista 1/3 do lado e 2/3 do vértice podemos concluir que  a altura do  Δ equilátero será  R + 2R = 3R
A altura (3R), na verdade, é um dos catetos do Δ retângulo de hipotenusa = ao lado do Δ equilátero e menor cateto = metade do lado do mesmo Δ equilátero.
Então _3R_  = sen 60°
             l
_3R_ = _√3_
    l           2
l = _6R_
       √3
l = _6√3R_
         3
l = 2√3R