Question

Considere um triângulo equilátero ABC com um ponto P no seu interior tal que:
PA=5, PB=7 e PC=8.
Qual é a área do triângulo ABC?

Answer 1

Boa noite

PA = 5
PB = 7
PC = 8 

area pela formula de Heron
16A² = P*(P - 2a)*(P - 2b)*(P - 2c)

ΔAPV + ΔAPB + ΔBPC  = ΔABC

16ΔAPV = (x + 13)*(13 - x)(x + 3)*(x - 3) = -x^4 + 178x^2 - 1521
16ΔAPB = (x + 12)*(12 - x)*(x + 2)*(x - 2) = -x^4 + 148x^2 - 576
16ΔBPC = (x + 15)*(15 - x)*(x + 1)*(x - 1) = -x^4 + 226x^2 - 225
16ΔAPV + ΔAPB + ΔBPC = -3x^4 + 552x^2 - 2322
16ΔABC = (3x)*(3x - 2x)*(3x - 2x)*(3x - 2x) = 3x^4 

-3x^4 + 552x^2 - 2322 = 3x^4
6x^4 - 552x^2 + 2322 = 0 

6y² - 552y + 2322 = 0 

delta
d² = 552² - 4*6*2322 = 248976
d = 12√1729
y1 = (552 + 12√1729)/12 = 87.58
x1 = 9.36 

área ABC
ΔABC² = 3x^4/16 = 3* 9.36^4/16 = 1439.15 
ΔABC = √1439.15 = 38 u.a