Question

Considere um triângulo ABC tal que A ( 2,4) , B (6,14) e C (2,1). Determine:

a) as equações das retas suporte dos três lados desse triângulo

b) as medidas das três alturas desse triângulo

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Arydrew, que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.
Tem-se que o triângulo da sua questão tem as seguintes coordenadas dos seus três vértices: A(2; 4); B(6; 14) e C(2; 1).
Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) O coeficiente angular (mab) da reta suporte AB, com A(2; 4) e B(6; 14) será encontrado assim:

mab = (14-4)/(6-2)
mab = (10)/(4) ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", teremos:
mab = 5/2 <--- Este é o coeficiente angular da reta suporte AB

Agora vamos encontrar a reta suporte AB, com a utilização do seu coeficiente angular (mab = 5/2). Para isso, utilizaremos a fórmula:

y-y₀ = mab*(x - x₀) ---- assim, elegendo um dos pontos do segmento AB (vamos escolher as coordenadas do ponto A(2; 4) ):

y - 4 = (5/2)*(x-2) ---- veja que isto é a mesma coisa que:
y - 4 = 5*(x-2)/2 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(y-4) = 5*(x-2) ---- efetuando os produtos indicados, temos:
2y-8 = 5x-10 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 5x - 10 - 2y + 8 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
0 = 5x - 2y - 2 --- ou, o que é a mesma coisa:
5x - 2y - 2 = 0 <--- Esta é a reta suporte do segmento AB.

ii) Agora vamos para a reta suporte do lado BC, com B(6; 14) e C(2; 1).
Assim, calculando o coeficiente angular (mbc) da reta suporte BC, teremos:

mbc = (1-14)/(2-6)
mbc = (-13)/(-4) ---- como na divisão menos com menos dá mais, então temos:
mbc = 13/4 <--- Este é o coeficiente angular da reta BC (mbc = 13/4).

Agora vamos encontrar a reta suporte BC. Vamos escolher o ponto C(2; 1). Assim:

y - 1 = (13/4)*(x-2) ---- ou, o que é a mesma coisa:
y - 1 = 13*(x-2)/4 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*(y-1) = 13*(x-2) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
4y-4 = 13x-26 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 = 13x-26-4y+4 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
0 = 13x-4y-22 ---- ou, invertendo-se:
13x-4y-22 = 0 <--- Esta é a reta suporte do lado BC.

iii) Finalmente, vamos para reta suporte do lado AC, com A(2; 4) e C(2; 1).
Vamos encontrar o coeficiente angular (mac) da reta suporte AC, com A(2; 4) e C(2; 1). Assim:

mac = (1-4)/(2-2)
mac = (-3)/(0) <--- Note, como não há divisão por zero, então a reta suporte do lado AC será uma função constante e dada por x = 2 (veja que, quando isso ocorre, então a reta será igual à abscissa dos dois pontos, em que ambas são iguais a "2"). Assim, resumindo, temos que a reta suporte do lado AC será:

x = 2 , ou, colocando-se "2" para o 1º membro, temos:
x - 2 = 0 <--- Esta é a reta suporte do lado AC.

Se você quiser, como a reta suporte do lado AC não tem "y", você poderá, se quiser, preencher com zero o coeficiente de "y", com o que ficaríamos assim:

x - 0y - 2 = 0 <--- A reta suporte do lado AC também poderia ser expressa desta forma.

Agora veja, Arydrew, que já gastamos muito espaço para encontrar as três retas suportes dos lados AB, BC e AC. Para encontrar as medidas das três alturas talvez o espaço não seja suficiente. Logo, pedimos que você coloque numa outra mensagem a questão relativa às três alturas, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.