Question

Considere um triângulo ABC tal que A ( 2,4) , B (6,14) e C (2,1). Determine:

a) as equações das retas suporte dos três lados desse triângulo

b) as medidas das três alturas desse triângulo

Answer 1

Vamos lá.
Veja, Arydrew, que, para respondermos a letra "b" desta questão (que pede as medidas das três alturas do triângulo), teremos que ter as equações já vistas na sua mensagem anterior (quando respondemos apenas o item "a").
que as equações de cada lado (lado AB, lado BC e lado AC) foram estas:

5x - 2y - 2 = 0 <--- Esta é a reta suporte do segmento AB.
13x-4y-22 = 0 <--- Esta é a reta suporte do lado BC. 
x - 0y - 2 = 0 <--- Esta é areta suporte do lado AC.

Agora veja: queremos a medida das alturas relativas a cada lado. Para isso, basta que tomemos os pontos de cada vértice e encontremos a distância desse ponto à equação da reta relativa ao lado oposto a esse ponto.

i) Assim, teremos: o ponto A(2; 4) é oposto ao lado BC, cuja equação é esta: 13x-4y-22 = 0;
Assim, vamos aplicar a fórmula da distância (d) um ponto a uma reta, que é dada assim: se você tiver um ponto A(xa; ya) e uma reta Ax+By+C = 0, a distância "d" será:

d = |Axa + Bya + C|/√(A²+B²)

Assim, a distância "d" do ponto A(2; 4) à reta BC, que é: 13x-4y-22 = 0 será:

dbc = |13*2 - 4*4 -22|/√(13²+(-4)²)
dbc = |26 - 16 - 22|/√(169+16)
dbc = |-12|/√(185) ---- como |-12| = 12, teremos:
dbc = 12/√(185) ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(185).Assim:

dbc = 12*√(185)/√(185)*√(185)
dbc = 12√(185)/√(185²) ----- ou apenas:
dbc = 12√(185)/185 <--- Esta é a medida da altura do ponto A ao lado BC.

ii) O ponto B(6; 14) é oposto ao lado AC, cuja equação é esta: x-0y-2 = 0
Como já sabemos (vimos isto no item anterior) encontrar a distância de um ponto a uma reta, então teremos que:

dac = |1*6 - 0*14 - 2|/√(1²+0²)
dac = |6 - 0 - 2|/√(1+0)
dac = |4| / √(1) ---- como |4| = 4 e √(1) = 1, teremos:
dac = 4 / 1
dac = 4 <--- Esta é a medida da altura do ponto B ao lado AC.

iii) Finalmente, o ponto C(2; 1) é oposto ao lado AB, cuja equação é esta: 5x-2y-2 = 0 . Assim, calculando a distância do ponto C à reta 5x-2y-2, teremos;

dab = |5*2 - 2*1 - 2|/√(5²+(-2)²)
dab = |10-2-2|/√(25+4)
dab = |6| / √(29) ---- como |6| = 6, teremos;
dab = 6/√(29) --- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(29). Assim:

dab = 6*√(29) / 29 --- ou apenas:
dab = 6√(29)/29 <--- Esta é a medida da altura do ponto C ao lado AB.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.