Question

considere um triângulo abc retângulo de catetos b e c, e área A=20cm. Subtraindo-se três centimetros de cada um de seus catetos obtemos outro triângulo retângulo, agora de área A', equivalente a um quarto da área inicia. Sobre a hipotenusa do segundo triângulo é correto afirmar que seja um número real x, tal que

Answer 1

Vamos lá.

Keyla, uma questão idêntica já apareceu por aqui e ela foi resolvida.
Vamos, então, tentar resolvê-la novamente, fazendo isso bem passo passo para um melhor entendimento.


i) A área  (A) de um triângulo retângulo, de catetos "b" e "c" tem 20 cm².

Veja: a área (A) de um triângulo retângulo é dada por: (cateto x cateto)/2.
Então, como os catetos do primeiro triângulo são "b" e "c" e considerando que a área (A) tem 20 cm², então teremos que:

20 = (b*c)/2 ----- multiplicando em cruz, teremos:
2*20 = bc
40 = bc ----- vamos apenas inverter, ficando:
bc = 40
b = 40/c      . (I)


ii) Subtraindo-se 3 cm de cada um dos seus catetos, obtemos outro triângulo, agora de área igual a (A'),  que equivale a 1/4 da área do triângulo inicial. Sobre a hipotenusa do segundo triângulo (ou seja, o de área igual a A') é correto afirmar que seja um número real "x", tal que... (depois disso, a questão não informa mais nada).
Bem, então vamos armar a equação da área do segundo triângulo, que será:

A' = [(b-3)*(c-3)]/2
A' = (bc-3b-3c+9)/2

Agora veja: como A' = (1/4) da área do triângulo inicial (20 cm²), então teremos que:

(1/4)*20 = (bc-3b-3c+9)/2 ----- ou apenas:
1*20/4 = (bc-3b-3c+9)/2 ---- ou ainda:
20/4 = (bc-3b-3c+9)/2
5 = (bc-3b-3c+9)/2 ---- multiplicando em cruz, ficaremos com:
2*5 = bc-3b-3c+9
10 = bc - 3b - 3c + 9 ---- passando "9" para o 1º membro, temos:
10-9 = bc - 3b - 3c
1 = bc - 3b - 3c ---- vamos apenas inverter, ficando:
bc - 3b - 3c = 1    . (II)


iii) Mas, conforme a expressão (I), temos que b = 40/c. Então vamos substituir "b' por esse valor na expressão (II), que é esta:

bc - 3b - 3c = 1 ---- substituindo "b" por "40/c", temos:
(40/c)*c - 3*(40/c) - 3c = 1 --- ou apenas:
40c/c - 120/c - 3c = 1 ----- ou apenas:
40 - 120/c - 3c = 1 ----- passando "1" para o 1º membro, teremos:
40 - 120/c - 3c - 1 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
-120/c - 3c + 39 = 0 ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", ficando:

120/c + 3c - 39 = 0 ------mmc = c. Assim, utilizando-o, teremos:
(1*120 + c*3c - c*39)/c = 0
(120 + 3c² - 39c)/c = 0  ---- multiplicando ambos os membros por "c", iremos ficar apenas com:

120 + 3c² - 39c = 0 ---- Vamos ordenar, ficando:
3c² - 39c + 120 = 0 ----- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "3", com o que ficaremos assim:

c² - 13c + 40 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontramos as seguintes raízes:

c' = 5
c'' = 8 .


iv) Agora veja: se formos na expressão (I), e nela substituirmos "c" por "5", encontramos que b = 8; e se substituirmos "c" por "8", encontramos b = 5.
Assim, como você vê, é indiferente considerarmos:
b = 8 e c = 5, ou b = 5 e c = 8.
Dessa forma, vamos considerar que: "b" = 5 e "c" = 8, que são os catetos do primeiro triângulo (ou seja, do triângulo que tem área de 20 cm²)


v) Agora vamos para os catetos do segundo triângulo (aquele que tem área de 5 cm²).
Note que os catetos do 2º triângulo têm, cada um, 3 cm a menos que os catetos do 1º triângulo. Então, a medida dos catetos do 2º triângulo terão as seguintes medidas:

b-3 = 5-3 = 2 cm
c-3 = 8-3 = 5 cm

Ou seja, os dois catetos do 2º triângulo, que vamos chamar de "y" e de "z", terão as seguintes medidas:

y = 2cm e z = 5 cm

Finalmente, agora, vamos ao que está sendo pedido, que é:
"Sobre a hipotenusa do segundo triângulo é correto afirmar que seja um número real "x", tal que ...." (e depois não diz mais nada).

Vamos aplicar Pitágoras. Com isso, ficaremos com:

x² = y² + z²  ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
x² = 2² + 5²
x²  = 4 + 25
x² = 29
x = +- √(29) cm ----- como a medida não pode ser negativa, então ficamos apenas com a raiz positiva e igual a:

x = √(29) cm  <---- Esta é a medida da hipotenusa do 2º triângulo.

Como a questão não é explícita, quando diz apenas isto: "Sobre a hipotenusa do segundo triângulo é correto afirmar que seja um número real "x", tal que ...." (e depois não diz mais nada) ,  ficamos impossibilitados de saber o que é esse "tal que".
Há várias possibilidades para esse "tal que".
Por exemplo:

- tal que a sua medida é de √(29) cm .
- tal que a sua medida é representada por um número irracional (pois √29 é um número irracional, porque ela não é exata e todas as raízes não exatas são números irracionais).

E assim vai.

Apenas pedimos que você reveja a questão e nos diga se a questão dá algumas opções (para vermos qual seria a correta) ou se ela, realmente, não dá nada mais do que isso.
Finalmente, reveja qual é a resposta que consta no gabarito da questão e depois nos diga alguma coisa.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.