Question

considere um triângulo ABC, o ângulo A mede 40 graus e o ângulo B mede 60 graus. une-se o ponto médio M do lado BC aos pés D e E das alturas BD e CE. determine as medidas dos ângulos internos do triângulo MDE.

Answer 1

$Ol\'a$

$Observe \ as \ imagens \ anexadas.$

$\bullet Como \ a \ soma \ dos \ \^{a}ngulos \ internos \ de \ tri\^{a}ngulo \ \'e \ igual \ a \ 180 \ a\\ medida \ do \ \^{a}ngulo \ A\^{C}B, ser\'a \ 80\º$

$\bullet Ao \ tra\c{c}armos \ os \ segmentos \ correspondentes \ as \ alturas \ BD \ e \ CE\\ formam-se \ os \ \^{a}ngulos \ de \ 90\º \ B\^DC \ e \ B\^{E}C \ (imagem \ 1)$

$\bullet Com \ isso \ formam-se \ 2 \ tri\^{a}ngulos \ ret\^{a}ngulos \ BEC \ (roxo) \ e\\ DBC \ (azul) \ (imagens \ 2 \ e \ 3)$

$\bullet Segundo \ a \ propriedade \ do \ tri\^{a}ngulo \ ret\^{a}ngulo \ que \ diz \ que \ a\\ mediana \ que \ parte \ do \ \^{a}ngulo \ reto \ divide \ a \ hipotenusa \ em \ dois\\ segmentos \ de \ reta \ do \ mesmo \ tamanho \ da \ mediana, podemos \ concluir\\ que \ o \ segmento \ \overline{EM} \ \ que \ partiu \ do \ \^{a}ngulo \ reto \ B\^{E}C \ dividiu\\ a \ hipotenusa \ \overline{BC} \ em \ 2 \ segmentos \ (\overline{BM} \ e \ \overline{MC}) \ do \ mesmo \ tamanho\\ da \ mediana \ \overline{EM}.$

$\bullet Seguindo \ a \ mesma \ ideia \ o \ segmento \ \overline{DM} \ ter\'a \ a \ mesma \ medida \ de\\ \overline{BM} \ e \ \overline{MC}$

$\bullet Logo, \ ser\~ao \ formados \ dois \ tri\^{a}ngulos \ is\'osceles \ BME, \ e \ DMC$

$\bullet Logo, \ ser\~ao \ formados \ dois \ tri\^{a}ngulos \ is\'osceles \ BME \ e \ DMC\\(imagem \ 4)$

$\bullet Como \ o \ tri\^{a}ngulo \ BME \ \'e \ is\'osceles, \ se \ o \ \^{a}ngulo \ E\^{B}M \ mede \ 60\º \ o\\ \^{a}ngulo \ B\^{E}M \ tamb\'em \ medir\'a \ 60\º \ e ,\ portanto \ o \ \^{a}ngulo \ E\^{M}B\\ medir\'a \ 60\º \ tamb\'em.$

$Como \ o \ tri\^{a}ngulo \ DMC \ \'e \ is\'osceles, \ se \ o \ \^{a}ngulo \ M\^{C}D \ mede \ 80\º \ o\\ \^{a}ngulo \ \ C\^{D}M \ tamb\'em \ medir\'a \ 60\º \ e ,\ portanto \ o \ \^{a}ngulo \ D\^{M}C\\ medir\'a \ 20\º.$

$\bullet Se \ o \ \^{a}ngulo \ E\^{M}B \ mede \ 60\º \ e \ o \ \^{a}ngulo \ D\^{M}C \ mede \ 20\º, o \ \^{a}ngulo\\ E\^{M}D \ medir\'a \ 100\º \ para \ formar \ um \ \^{a}ngulo \ raso \ (180\º)$

$\bullet Como \ tri\^{a}ngulo \ EMD \ \'e \ is\'osceles, \ e \ o \ \^{a}ngulo \ E\^{M}D \ mede \ 100\º, os\\ \^{a}ngulos \ M\^{E}D \ e \ E\^{D}M \ medir\~ao \ 40\º \ cada \ um (imagem 5).$

$Logo, \ os \ \^{a}ngulos \ internos \ do \ tri\^{a}ngulo \ MDE \ medem:$

$\Rightarrow \bold{\boxed{100\º, \ 40\º \ e \ 40\º}}$