Question

Considere um trapézio isósceles MNOP cuja base maior MN vale o dobro da base menor. Sabendo que OM é bissetriz do ângulo M e que o perímetro do trapézio é igual a 100, pode-se afirmar que PM vale:
Escolha uma opção:
a. 10
b. 12
c. 15
d. 18
e. 20

Answer 1

A medida PM vale 20.

Alternativa E.

• Observe a figura anexa.
• Se o trapézio é isósceles então ele possui dois lados congruentes. Considere suas medidas x:

ON = PM = x

• Se a base maior vale o dobro da base menor então considere a base maior 2b e a base menor b.
• Se OM é bissetriz do ângulo M então as medidas dos ângulos NMO e OMP são iguais. Considere suas medidas α (alfa).
• Considere também as medidas dos seguintes ângulos:

m(∠QPM) = β (beta)

m(∠MOP) = γ (gama)

• Trace a altura PQ do trapézio.
• Aplique a propriedade: Em um triângulo qualquer a soma das medidas dos ângulos internos é 180°.

No triângulo MQP:

2α + β + 90 = 180

β + 90 = 180 − 2α

No triângulo MOP:

α + β + 90 + γ = 180 ⟹ Substitua β + 90 por 180 − 2α.

α + 180 − 2α + γ = 180 ⟹ Subtraia 180 de ambos os membros.

α − 2α + γ = 0 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

− α + γ = 0 ⟹ Some α em ambos os membros.

γ = α

• Observe que se a medida do ângulo γ é igual à medida do ângulo α então o triângulo MOP é isósceles e portanto possui dois lados congruentes (a medida do lado MP é igual à medida do lado PO).

MP = PO

x = b

• Do enunciado: o perímetro do trapézio é igual a 100, então:

2b + b + 2x = 100 ⟹ Substitua x por b.

2b + b + 2b = 100 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

5b = 100 ⟹ Divida ambos os membros por 5.

b = 20

A medida PM vale 20.

Alternativa E.

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