Question

Considere um sistema de coordenadas S no plano coordenado obtido pela rotação do sistema usual por um ângulo de 120 graus, no sentido horário. Se no sistema S as coordenadas do ponto P são (1, -2), então as coordenadas de P no sistema usual são:

Answer 1

Primeiro, vou escrever na forma polar, em que escrevemos o ponto em relação a sua distância da origem e seu ângulo de rotação:

(Obs: irei deixar uma foto abaixo para melhor visualização do problema)

(x,y) -> (r*cos(α), r*sen(α))

Como o ponto é (1 , -2), o raio "r" será, pelo teorema de Pitágoras: $r=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{5}$

Logo, também temos o valor do seno e cosseno:

$sen(\alpha )= -\frac{2}{\sqrt{5} } \\cos(\alpha)= \frac{1}{\sqrt{5} }$

Antes da rotação no sentido horário, as coordenadas eram:

(r*cos(α+120°) , r*sen(α+120°) )

Basta sabermos os valores desse novo ângulo. Para isso, usaremos a fórmula de adição:

$cos(\alpha+120^o)\\=cos(\alpha)cos(120^o)-sen(\alpha)sen(120^o)\\=\frac{1}{\sqrt{5} }*-\frac{1}{2}-(-\frac{2}{\sqrt{5} })*\frac{\sqrt{3} }{2}\\ =-\frac{1}{2\sqrt{5} }+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} }\\ =\frac{2\sqrt{3}-1 }{2\sqrt{5} }$

$sen(\alpha+120^o)\\=sen(\alpha )cos(120^o)+sen(120^o)cos(\alpha)\\=-\frac{2}{\sqrt{5} }*-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}*\frac{1}{\sqrt{5} }\\ =\frac{2}{2\sqrt{5} } +\frac{\sqrt{3} }{2\sqrt{5} }\\ =\frac{2+\sqrt{3} }{2\sqrt{5} }$

Logo, a coordenada "x" será

$r*cos(\alpha)=\sqrt{5}*\frac{2\sqrt{3}-1 }{2\sqrt{5} }=\frac{2\sqrt{3}-1 }{2}$

A coordenada "y" será:

$r*sen(\alpha) =\sqrt{5}* \frac{2+\sqrt{3} }{2\sqrt{5} }=\frac{2+\sqrt{3} }{2}$

Portanto, a coordenada original era $(\frac{2\sqrt{3}-1 }{2}, \frac{\sqrt{3}+2 }{2})$

Se tiver alguma dúvida, pode me chamar nos comentários. Bons estudos ^^