Question

Considere um retângulo de lados x e y, tal que a media geométrica e a media aritmética entre x e y valem 9 e 15, respectivamente. Seja S a soma dos valores numéricos da área, do perímetro e das medidas dos lados x e y do retângulo. Determine o valor de S:

Answer 1

A média geométrica é calculada multiplicando-se os números que queremos tirar a média e em seguida extraindo a raiz do produto. O índice da raiz é tanto de números que multiplicamos. Então a média geométrica entre x e y, que resulta em 9, fica:

$\sqrt[2]{x.y}=9$

Já a média aritmética é calculada somando-se os números desejados e depois dividindo sua soma pela quantidade de números que somamos. A média aritmética entre x e y, que resulta em 15, fica:

$\frac{x+y}{2} =15$

Com essas duas equações, podemos montar um sistema:

$\left \{ {{ \sqrt{x.y} = 9 } \atop { \frac{x+y}{2} =15}} \right.$

Vou isolar o y da segunda equação:

II) $\frac{x+y}{2}=15$
    $x+y=15.2$
    $x+y=30$
    $y=30-x$

Agora vou substituir o (y) na primeira equação por (30-x):

I) $\sqrt{x.y=9}$
   $\sqrt{x.(30-x)}=9$ 
   $\sqrt{x.(30-x)}^2=(9)^2$
   $x.(30-x)=81$
   $30x-x^2=81$
   $-x^2+30x-81=0$

Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=-1,  b=30,  c=-81

Δ= b²-4ac
Δ= (30)²-4(-1)(-81)
Δ= 900-324
Δ= 576

x= (-b+-√Δ)/2a
x= (-(30)+-√576)/(2.(-1))
x= (-30+-24)/-2

x'= (-30+24)/-2
x'= -6/-2
x'= 3

x''= (-30-24)/-2
x''= -54/-2
x''= 27

O valor de x pode ser tanto 3 quanto 27. Tanto faz qual valor você vai escolher. Eu vou escolher o 3.

Considerando que o valor de x é 3, vamos substituir o x na segunda equação:

II) $y= 30-x$
    $y=30-(3)$
    $y=27$

O valor de y é 27.

Perceba que se tivéssemos utilizado o valor de x como sendo 27, o y resultaria em 3. Ou seja, nesse caso, tanto faz.

Sabendo que x=3 e y=27, vamos calcular a área (A) e o perímetro (P).

A área de um retângulo é base (b) vezes altura (h).

A= b.h
A= 27.3
A= 81

Agora, para calcular o perímetro, há um detalhe importante: dois lados do retângulo em questão medem 3 e os outros dois 27, por isso não podemos simplesmente fazer x+y. Teremos que fazer x+x+y+y ou 2x+2y.

P= x+x+y+y
P= 3+3+27+27
P= 6+54
P= 60

O exercício pediu a soma dos valores numéricos da área, do perímetro, do x e do y. Então, ficará:

A+P+x+y=
(81)+(60)+(3)+(27)=
81+60+3+27=
141+3+27=
144+27=
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