Question

Considere um retângulo, cujas equações das retas-suporte de dois de seus lados e de uma de suas
diagonais são, respectivamente, x - 2y = 0, x - 2y + 15 = 0 e 7x + y – 15 = 0. Determine:
a) as coordenadas dos vértices do retângulo que estão sobre esta diagonal;
b) a equação da reta-suporte da outra diagonal.

Answer 1

a) Basta fazer a interseção entre a equação da diagonal com as equações das outras retas:

x - 2y = 0 → x = 2y

7x + y - 15 = 0

7.2y + y = 15

15y = 15

y = 1 → x = 2

x - 2y + 15 = 0 → x = 2y - 15

7x + y - 15 = 0

7.(2y - 15) + y = 15

15y - 105 = 15

15y = 120

y = 8 → x = 1

As coordenadas dos vértices são (2, 1) e (1, 8).

b) Temos que encontrar os dois vértices e ligá-los através de uma reta. Os outros vértices podem ser encontrados encontrando a equação dos outros dois lados, que são perpendiculares as equações das retas suportes apresentadas, sendo assim, o produto de seus coeficientes angulares são -1.

A reta r que passa por (2,1) e é perpendicular a x - 2y = 0 é:

y = x/2 → m1 = 1/2

m1.m2 = -1

m2/2 = -1

m2 = -2

r: y = -2x + b

1 = -2.2 + b

b = 5

r: y = -2x + 5

O vértice é a interseção entre r e x - 2y + 15= 0:

-2x + 5 = x+15/2

-4x + 10 = x + 15

-5x = 5

x = -1, y = 7

Da mesma forma, a reta s que passa por (1,8) e é perpendicular a x - 2y + 15 = 0 é:

y = x+15/2 → m1 = 1/2

m1.m2 = -1

m2/2 = -1

m2 = -2

s: y = -2x + b

8 = -2.1 + b

b = 10

s: y = -2x + 10

O vértice é a interseção entre s e x - 2y = 0:

-2x + 10 = x/2

-4x + 20 = x

5x = 20

x = 4, y = 1

A reta que liga os pontos (-1, 7) e (4, 2) é:

7 = -a + b

2 = 4a + b

Subtraindo as equações:

5 = -5a

a = -1

b = 6

A reta suporte da outra diagonal é y = -x + 6.