Question

considere um quadrado de lado 4 cm. determine
A)o volume do solido gerado pela rotação em torno de um dos seus lados
B) o volume do solido gerado pela rotação em torno de uma de suas diagonais 

Answer 1

A) O solido gerado pela rotação em torno de um dos seus lados formará um cilindro de raio 4 cm e altura 4 cm.
Volume do cilindro:
$V=\pi.r^{2} .h$
$V=\pi.4^{2} .4$
$V=64\pi~~cm^{3}$
ou
$V=64~.~3,14$
$\boxed{V=200,96~~cm^{3}}$

B) O solido gerado pela rotação em torno de uma de suas diagonais formará dois cones.
Primeiro devemos achar a Diagonal do quadrado:
D² = a² + a²
D² = 4² + 4²
$D^{2} =16+16$
$D= \sqrt{32}$
$\boxed{D=4 \sqrt{2} }$
O raio da base das pirâmides será a metade da diagonal do quadrado:
$\boxed{r=2 \sqrt{2}}$
A altura será a metade da diagonal do quadrado:
$\boxed{h=2 \sqrt{2} }$

Agora acharemos o volume das pirâmides:
$\boxed{V= \frac{\pi.r^{2}.h }{3} }$

$V= \frac{\pi.(2 \sqrt{2} )^{2}.2 \sqrt{2} }{3}$

$V= \frac{\pi.4.2.2 \sqrt{2}}{3}$

$V= \frac{16 \sqrt{2} }{3}\pi$

$V= \frac{16.1,4.3,14}{3}$

$V= \frac{70,336}{3}$

$V =23,44~cm^3$ (volume de uma pirâmide)

Como são duas pirâmides multiplicaremos por 2.
$V=23,44~.~2$

$\boxed{V=46,88~~cm^{3}}$ (aproximadamente)