Question

Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)= 2xy - y3 no ponto P(5, 5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor.u=(3/5-4/5)

A.

-46.



B.

74.



C.

58.



D.

46.



E.

-58




​​​​​​​

Answer 1

A taxa de variação na direção do versor u é sua derivada direcional, dada pelo produto interno de seu gradiente por u

$\nabla_{\vec{u}}=\nabla f\cdot\vec{u}\\\\\nabla_{\vec{u}}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\cdot\vec{u}$

Calculando o gradiente em P(5,5) e fazendo o produto interno:

$\frac{\partial f}{\partial x}(2xy-y^3)=2y\\\\\frac{\partial f}{\partial y}(2xy-y^3)=2x-3y^2\\\\\\\nabla_{\vec{u}}=(2y, 2x-3y^2})\cdot\vec{u}\\\\\nabla_{\vec{u}}=(10, -65})\cdot(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\\\\\nabla_{\vec{u}}=\frac{30}{5}+\frac{260}{5}\\\\\nabla_{\vec{u}}=\frac{290}{5}=58$