Question

Considere um ponto P(x,y) cuja distância ao ponto A(5,3) é sempre duas vezes a distância de P ao ponto B(-4,-2). Nessas condições, escreva uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.

Answer 1

Pede-se para escrever uma equação que deva ser satisfeita com as coordenadas do ponto P(x; y), sabendo-se que a distância de P a A(5; 3) é sempre o dobro da distância de P a B(-4; -2). 

Sabe-se que a fórmula da distância de um ponto a outro é dada por: D² = (x-x1)² + (y-y1)², em que "D" é a distância e "x1" e "y1" são as coordenadas dos pontos considerados. 
Fazendo as devidas substituições, teremos, utilizando a fórmula para: do ponto "P" ao ponto A, e do ponto P ao ponto B e levando em conta que a distância de P para A é sempre o dobro da distância de P para B: 

(x-5)² + (y-3)² = 2[(x+4)² + (y+2)²] 
x²-10x+25 + y²-6y+9 = 2[x²+8x+16 + y²+4y+4] 
x²-10x+25 + y²-6y+9 = 2x²+16x+32+2y²+8y+8 ------arrmando tudo, vem: 
x²+y²-10x-6y+34 = 2x²+2y²+16x+8y+40 -------colocando todo o 1º membro para o 2º, temos: 

2x²-x²+2y²-y²+16x+10x+8y+6y+40-34 = 0 
x²+y²+26x+14y+6 = 0 <------Pronto. Seria essa a equação escrita, que deve ser satisfeita com as condições das coordenadas do ponto "P". 

OK? 
raiane